以下の問題を解きます。 (1) $(2\sqrt{2}-1)^2$ を計算する。 (2) $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}-1}$ の分母を有理化する。 (3) 不等式 $\frac{x}{2} + \frac{1}{3} > \frac{x}{4} - \frac{1}{6}$ を解く。 (4) 連立不等式 $\begin{cases} 3x \ge 9 + 2x \\ -x + 4 \ge 5(x - 10) \end{cases}$ を解く。

1. 問題の内容

以下の問題を解きます。

(1) $(2\sqrt{2}-1)^2$ を計算する。

(2) $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}-1}$ の分母を有理化する。

(3) 不等式 $\frac{x}{2} + \frac{1}{3} > \frac{x}{4} - \frac{1}{6}$ を解く。

(4) 連立不等式 $\begin{cases} 3x \ge 9 + 2x \\ -x + 4 \ge 5(x - 10) \end{cases}$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) $(2\sqrt{2}-1)^2$ の計算

展開の公式 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を使います。

$a = 2\sqrt{2}, b = 1$ なので、

$(2\sqrt{2}-1)^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2(2\sqrt{2})(1) + 1^2 = 4 \cdot 2 - 4\sqrt{2} + 1 = 8 - 4\sqrt{2} + 1 = 9 - 4\sqrt{2}$

(2) $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}-1}$ の分母の有理化

分母の $\sqrt{3}-1$ に共役な $\sqrt{3}+1$ を分子と分母にかける。

$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + 1}{2}$

(3) 不等式 $\frac{x}{2} + \frac{1}{3} > \frac{x}{4} - \frac{1}{6}$ の解

両辺に12をかけて分母を払う。

$12 \cdot (\frac{x}{2} + \frac{1}{3}) > 12 \cdot (\frac{x}{4} - \frac{1}{6})$

$6x + 4 > 3x - 2$

$6x - 3x > -2 - 4$

$3x > -6$

$x > -2$

(4) 連立不等式 $\begin{cases} 3x \ge 9 + 2x \\ -x + 4 \ge 5(x - 10) \end{cases}$ の解

まず、それぞれの不等式を解く。

1つ目の不等式:

$3x \ge 9 + 2x$

$3x - 2x \ge 9$

$x \ge 9$

2つ目の不等式:

$-x + 4 \ge 5(x - 10)$

$-x + 4 \ge 5x - 50$

$-x - 5x \ge -50 - 4$

$-6x \ge -54$

$x \le \frac{-54}{-6}$

$x \le 9$

$x \ge 9$ と $x \le 9$ を満たす $x$ は $x = 9$ のみ。

3. 最終的な答え

(1) $9 - 4\sqrt{2}$

(2) $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + 1}{2}$

(3) $x > -2$

(4) $x = 9$