$x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ のとき、以下の式の値を求めます。 (1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ (3) $x^4 + \frac{1}{x^4}$

1. 問題の内容

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ のとき、以下の式の値を求めます。

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

(3) $x^4 + \frac{1}{x^4}$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求める。

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ の両辺を2乗すると、

$(x + \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{6})^2$

$x^2 + 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = 6$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 6$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 6 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ を求める。

$x^3 + \frac{1}{x^3}$ を $(x + \frac{1}{x})$ を用いて表すことを考えます。

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x^2(\frac{1}{x}) + 3x(\frac{1}{x^2}) + \frac{1}{x^3}$

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3}$

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ より、

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (\sqrt{6})^3 - 3\sqrt{6}$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 6\sqrt{6} - 3\sqrt{6}$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 3\sqrt{6}$

(3) $x^4 + \frac{1}{x^4}$ を求める。

(1)で $x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$ であることがわかったので、両辺を2乗すると、

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = 4^2$

$x^4 + 2(x^2)(\frac{1}{x^2}) + \frac{1}{x^4} = 16$

$x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 16$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 16 - 2$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 14$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3} = 3\sqrt{6}$

(3) $x^4 + \frac{1}{x^4} = 14$