3つの問題があります。 (1) 2次関数 $y = 2x^2 + 4x + k$ が最小値3をとるとき、定数 $k$ の値を求めます。 (2) 2次関数 $y = x^2 - 2ax + 3$ のグラフを $x$ 軸方向に1, $y$ 軸方向に2だけ平行移動した放物線が原点を通るとき、$a$ の値を求めます。 (3) 長さ12mのロープを用いて、まっすぐな道路に面した土地を長方形ABCDの形に囲みます。ABの長さを $x$ m, この長方形ABCDの面積を $y$ m$^2$ とするとき、長方形の面積を最大にするには、ABの長さを何mにすればよいか。ただし、ADにはロープを使用しないとします。

1. 問題の内容

3つの問題があります。

(1) 2次関数 $y = 2x^2 + 4x + k$ が最小値3をとるとき、定数 $k$ の値を求めます。

(2) 2次関数 $y = x^2 - 2ax + 3$ のグラフを $x$ 軸方向に1, $y$ 軸方向に2だけ平行移動した放物線が原点を通るとき、$a$ の値を求めます。

(3) 長さ12mのロープを用いて、まっすぐな道路に面した土地を長方形ABCDの形に囲みます。ABの長さを $x$ m, この長方形ABCDの面積を $y$ m$^2$ とするとき、長方形の面積を最大にするには、ABの長さを何mにすればよいか。ただし、ADにはロープを使用しないとします。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数 $y = 2x^2 + 4x + k$ を平方完成します。

$y = 2(x^2 + 2x) + k = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + k = 2(x+1)^2 - 2 + k$

この関数の最小値は $-2 + k$ であり、これが3に等しいので、 $-2 + k = 3$ を解きます。

(2) 2次関数 $y = x^2 - 2ax + 3$ のグラフを $x$ 軸方向に1, $y$ 軸方向に2だけ平行移動したグラフは、

$y - 2 = (x - 1)^2 - 2a(x - 1) + 3$ となります。整理すると、

$y = x^2 - 2x + 1 - 2ax + 2a + 3 + 2 = x^2 - 2(a+1)x + 2a + 6$

この放物線が原点 $(0, 0)$ を通るので、 $0 = 0^2 - 2(a+1) \cdot 0 + 2a + 6$ が成り立ちます。

よって、 $2a + 6 = 0$ を解きます。

(3) ABの長さを $x$ とすると、BCの長さは $(12 - 2x)$ になります。なぜなら、AB + BC + CD = 12 であり、AB = CD = x だからです。

長方形の面積 $y$ は $y = x(12 - 2x) = -2x^2 + 12x$ となります。

これを平方完成すると、$y = -2(x^2 - 6x) = -2(x^2 - 6x + 9 - 9) = -2(x-3)^2 + 18$

したがって、$x = 3$ のとき、面積 $y$ は最大値18をとります。

3. 最終的な答え

(1) $k = 5$

(2) $a = -3$

(3) ABの長さを3 mにすればよい。