この問題は、2次方程式を解く問題と2次不等式を解く問題の2つに分かれています。 まず、次の2つの2次方程式を解きます。 (1) $2x^2 + 3x - 1 = 0$ (2) $x^2 + \sqrt{2}x - 3 = 0$ 次に、次の2つの2次不等式を解きます。 (1) $(x+1)(x+3) > 0$ (2) $x^2 + 5x - 5 < 0$

1. 問題の内容

この問題は、2次方程式を解く問題と2次不等式を解く問題の2つに分かれています。

まず、次の2つの2次方程式を解きます。

(1) $2x^2 + 3x - 1 = 0$

(2) $x^2 + \sqrt{2}x - 3 = 0$

次に、次の2つの2次不等式を解きます。

(1) $(x+1)(x+3) > 0$

(2) $x^2 + 5x - 5 < 0$

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $2x^2 + 3x - 1 = 0$ を解きます。解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用います。

この場合、$a = 2$, $b = 3$, $c = -1$ なので、

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$

(2) 2次方程式 $x^2 + \sqrt{2}x - 3 = 0$ を解きます。解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用います。

この場合、$a = 1$, $b = \sqrt{2}$, $c = -3$ なので、

$x = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2 + 12}}{2} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{14}}{2}$

(3) 2次不等式 $(x+1)(x+3) > 0$ を解きます。

$(x+1)(x+3) = 0$ となるのは $x = -1, -3$ のときです。

$x < -3$ のとき、$(x+1) < 0$ かつ $(x+3) < 0$ なので、$(x+1)(x+3) > 0$ となります。

$-3 < x < -1$ のとき、$(x+1) < 0$ かつ $(x+3) > 0$ なので、$(x+1)(x+3) < 0$ となります。

$x > -1$ のとき、$(x+1) > 0$ かつ $(x+3) > 0$ なので、$(x+1)(x+3) > 0$ となります。

したがって、$x < -3$ または $x > -1$ が解となります。

(4) 2次不等式 $x^2 + 5x - 5 < 0$ を解きます。

まず、$x^2 + 5x - 5 = 0$ の解を求めます。解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用います。

この場合、$a = 1$, $b = 5$, $c = -5$ なので、

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 20}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{-5 \pm 3\sqrt{5}}{2}$

したがって、$x^2 + 5x - 5 < 0$ の解は $\frac{-5 - 3\sqrt{5}}{2} < x < \frac{-5 + 3\sqrt{5}}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$

(2) $x = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{14}}{2}$

(3) $x < -3$ または $x > -1$

(4) $\frac{-5 - 3\sqrt{5}}{2} < x < \frac{-5 + 3\sqrt{5}}{2}$