与えられた2つの式を因数分解する問題です。 (1) $ab - bc - b^2 + ca$ (2) $x^2 - y^2 + x + 5y - 6$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。

(1) $ab - bc - b^2 + ca$

(2) $x^2 - y^2 + x + 5y - 6$

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた式を整理します。

$ab - bc - b^2 + ca$

同じ文字でまとめることを考え、$b$を含む項と$c$を含む項に分けます。

$ab - b^2 - bc + ca$

$b$を含む項を$b$でくくり、$c$を含む項を$c$でくくります。

$b(a-b) + c(a-b)$

共通因数$(a-b)$でくくります。

$(a-b)(b+c)$

(2)

与えられた式を整理します。

$x^2 - y^2 + x + 5y - 6$

$x$と$y$の2次式なので、因数分解しやすい形に整理することを考えます。まず、$x^2$と$x$の項、$y^2$と$y$の項、そして定数項に分けます。

$(x^2 + x) - (y^2 - 5y + 6)$

次に、$y$に関する部分を因数分解します。

$(x^2 + x) - (y - 2)(y - 3)$

$x^2 - y^2$の項があるので、この部分を$(x+y)(x-y)$と因数分解できることを利用することを考えます。

$x^2-y^2 + x + 5y - 6 = (x+y)(x-y) + x + 5y - 6$

ここで、$x+5y-6$という項がありますが、この部分と$(x+y)(x-y)$をうまく組み合わせて因数分解することを考えます。

$x^2+x - y^2 + 5y -6$という式を見ると、$x$と$y$が混ざった式です。

$x$の1次式の係数$1$と$y$の1次式の係数$5$に着目して、式全体を$(x+Ay+B)(x+Cy+D)$の形に因数分解できないか試します。

$(x+y-2)(x-y+3) = x^2-xy+3x+xy-y^2+3y-2x+2y-6 = x^2-y^2+x+5y-6$

これは与えられた式と一致します。

3. 最終的な答え

(1) $(a-b)(b+c)$

(2) $(x+y-2)(x-y+3)$