$x$ の方程式 $|4-2|x-3|| = 2x+1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

$x$ の方程式 $|4-2|x-3|| = 2x+1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、絶対値の中身は常に0以上であることから、$2x+1 \geq 0$ である必要があります。

よって、$x \geq -\frac{1}{2}$。

したがって、アには-1、イには2が入ります。

次に、$|x-3|$ を場合分けして考えます。

$x \geq 3$ のとき、$|x-3| = x-3$

$x < 3$ のとき、$|x-3| = -x+3$

したがって、ウには3が入ります。

(1) $x \geq 3$ のとき

$|4-2(x-3)| = |4-2x+6| = |10-2x| = 2x+1$

$|10-2x| = 2|5-x|$

さらに、$x \geq 3$ なので、$10-2x$ の符号で場合分けします。

$10-2x \geq 0$ のとき、つまり $x \leq 5$ のとき、$10-2x = 2x+1$ なので、$4x = 9$ より $x = \frac{9}{4}$。

しかし、$x \geq 3$ を満たさないので不適。

$10-2x < 0$ のとき、つまり $x > 5$ のとき、$-10+2x = 2x+1$ となり、$-10=1$ となるので不適。

(2) $-\frac{1}{2} \leq x < 3$ のとき

$|4-2(-x+3)| = |4+2x-6| = |2x-2| = 2x+1$

$|2x-2| = 2|x-1|$

$-\frac{1}{2} \leq x < 3$ なので、$2x-2$ の符号で場合分けします。

$2x-2 \geq 0$ のとき、つまり $x \geq 1$ のとき、$2x-2 = 2x+1$ となり、$-2=1$ となるので不適。

$2x-2 < 0$ のとき、つまり $x < 1$ のとき、$-2x+2 = 2x+1$ なので、$4x = 1$ より $x = \frac{1}{4}$。

これは $-\frac{1}{2} \leq x < 3$ を満たし、かつ $x < 1$ を満たすので適する。

以上より、

$x \geq 3$ のとき $|4-2|x-3|| = |4-2(x-3)| = |10-2x| = 2x - (-1) = 2x+1$。 よってエは-1。

$-\frac{1}{2} \leq x < 3$ のとき $|4-2|x-3|| = |4-2(-x+3)| = |2x-2| = 2x - 3 = 2x+1$。よってオは3。

解は $x = \frac{1}{4}$。

3. 最終的な答え

ア: -1

イ: 2

ウ: 3

エ: -1

オ: 3

カ: 1

キ: 4