多項式 $P(x)$ が与えられており、以下の情報が与えられています。 * $P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると、余りが $8x+4$ * $P(x)$ は $(x+1)^2$ で割り切れる このとき、以下の問題を解きます。 (8) $P(x)$ を $(x-1)(x+1)$ で割った余りを求めます。 (9) $P(x)$ を $(x-1)(x+1)^2$ で割った余りを求めます。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ が与えられており、以下の情報が与えられています。

* $P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると、余りが $8x+4$

* $P(x)$ は $(x+1)^2$ で割り切れる

このとき、以下の問題を解きます。

(8) $P(x)$ を $(x-1)(x+1)$ で割った余りを求めます。

(9) $P(x)$ を $(x-1)(x+1)^2$ で割った余りを求めます。

2. 解き方の手順

(8) $P(x)$ を $(x-1)(x+1)$ で割った余りを $ax+b$ とおきます。

すると、$P(x) = (x-1)(x+1)Q(x) + ax+b$ と表せます。

ここで、$P(1) = a+b$ であり、$P(x)$ を $(x-1)^2$ で割った余りが $8x+4$ であることから、$P(1) = 8(1)+4 = 12$ なので、$a+b = 12$ です。

また、$P(-1) = -a+b$ であり、$P(x)$ は $(x+1)^2$ で割り切れるので、$P(-1) = 0$ なので、$-a+b = 0$ です。

$a+b=12$ と $-a+b=0$ を解くと、$a=6$、$b=6$ となるので、余りは $6x+6$ です。

(9) $P(x)$ を $(x-1)(x+1)^2$ で割った余りを $R(x)$ とおきます。$R(x)$ は2次以下の多項式です。

すると、$P(x) = (x-1)(x+1)^2 S(x) + R(x)$ と表せます。

ここで、$P(x)$ を $(x+1)^2$ で割ると割り切れるので、$R(x)$ も $(x+1)^2$ で割り切れる必要があります。したがって、$R(x) = c(x+1)^2$ と表せます。

$P(x) = (x-1)(x+1)^2 S(x) + c(x+1)^2$ であり、$P(x)$ を $(x-1)^2$ で割った余りが $8x+4$ であることを利用します。

$P(x) = (x-1)^2 T(x) + 8x+4$ と表せます。

$P(1) = 8(1)+4 = 12$ です。

$P(1) = (1-1)(1+1)^2 S(1) + c(1+1)^2 = 4c$ なので、$4c = 12$ となり、$c = 3$ となります。

したがって、$R(x) = 3(x+1)^2 = 3(x^2+2x+1) = 3x^2+6x+3$ です。

3. 最終的な答え

(8) $6x+6$

(9) $3x^2+6x+3$