与えられた数列の初項から第n項までの和を求めます。数列は3つあります。 (1) $1^2, 4^2, 7^2, 10^2, ...$ (2) $1, 1+4, 1+4+7, ...$ (3) $\frac{1}{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{4}, \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8}, \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16}, ...$

1. 問題の内容

与えられた数列の初項から第n項までの和を求めます。数列は3つあります。

(1) $1^2, 4^2, 7^2, 10^2, ...$

(2) $1, 1+4, 1+4+7, ...$

(3) $\frac{1}{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{4}, \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8}, \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16}, ...$

2. 解き方の手順

(1) 数列 $1^2, 4^2, 7^2, 10^2, ...$ の一般項 $a_n$ を求めます。

数列の各項は $(3n-2)^2$ と表せるので、$a_n = (3n-2)^2 = 9n^2 - 12n + 4$ です。

初項から第n項までの和 $S_n$ は

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (9k^2 - 12k + 4) = 9 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 12 \sum_{k=1}^{n} k + 4 \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

$S_n = 9 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 12 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 4n = \frac{3n(n+1)(2n+1)}{2} - 6n(n+1) + 4n = \frac{n}{2} (3(n+1)(2n+1) - 12(n+1) + 8) = \frac{n}{2} (6n^2 + 9n + 3 - 12n - 12 + 8) = \frac{n}{2} (6n^2 - 3n - 1) = \frac{n(6n^2 - 3n - 1)}{2}$

(2) 数列 $1, 1+4, 1+4+7, ...$ の一般項 $a_n$ を求めます。

$a_n = \sum_{k=1}^{n} (3k-2) = 3 \sum_{k=1}^{n} k - 2 \sum_{k=1}^{n} 1 = 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 2n = \frac{3n^2+3n}{2} - 2n = \frac{3n^2 - n}{2}$

初項から第n項までの和 $S_n$ は

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{3k^2 - k}{2} = \frac{3}{2} \sum_{k=1}^{n} k^2 - \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} k = \frac{3}{2} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{4} - \frac{n(n+1)}{4} = \frac{n(n+1)}{4} (2n+1 - 1) = \frac{n(n+1)(2n)}{4} = \frac{n^2(n+1)}{2}$

(3) 数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{4}, \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8}, \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16}, ...$ の一般項 $a_n$ を求めます。

$a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{2^k} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (-\frac{1}{2})^{k-1}$

これは初項1、公比 $-\frac{1}{2}$ の等比数列の和であるから、

$a_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - (-\frac{1}{2})^n}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - (-\frac{1}{2})^n}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} (1 - (-\frac{1}{2})^n)$

初項から第n項までの和 $S_n$ は

$S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{3} (1 - (-\frac{1}{2})^i) = \frac{1}{3} \sum_{i=1}^{n} 1 - \frac{1}{3} \sum_{i=1}^{n} (-\frac{1}{2})^i = \frac{n}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{(-\frac{1}{2}) (1 - (-\frac{1}{2})^n)}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{n}{3} - \frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{1 - (-\frac{1}{2})^n}{\frac{3}{2}} = \frac{n}{3} + \frac{1}{9} (1 - (-\frac{1}{2})^n) = \frac{n}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{9} (-\frac{1}{2})^n$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(6n^2 - 3n - 1)}{2}$

(2) $\frac{n^2(n+1)}{2}$

(3) $\frac{n}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{9} (-\frac{1}{2})^n$