一の位の数の和が10で、十の位の数が同じ $a$ であるような2つの2桁の数について、その積の下2桁は一の位の数同士の積であり、百の位以上の数は $a(a+1)$ となることを証明する。

1. 問題の内容

一の位の数の和が10で、十の位の数が同じ $a$ であるような2つの2桁の数について、その積の下2桁は一の位の数同士の積であり、百の位以上の数は $a(a+1)$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

2つの2桁の数を $10a + b$ と $10a + (10-b)$ と表す。ここで、 $a$ は十の位の数、$b$ は一方の数の一の位の数である。もう一方の数の一の位の数は $10-b$ となる。これらの数の積を計算する。

$(10a + b)(10a + (10-b))$

$= 100a^2 + 10a(10-b) + 10ab + b(10-b)$

$= 100a^2 + 100a - 10ab + 10ab + 10b - b^2$

$= 100a^2 + 100a + 10b - b^2$

$= 100a(a+1) + b(10-b)$

この式をみると、$100a(a+1)$ は $a(a+1) \times 100$ を表しており、これは百の位以上の数が $a(a+1)$ であることを意味する。また、$b(10-b)$ は一の位同士の積を表しており、これが下2桁になる。したがって、題意は証明された。

3. 最終的な答え

2つの条件を満たす2桁の数の積は、$a(a+1)$ を百の位以上の数とし、$b(10-b)$ を下2桁とすることで表せる。

したがって証明完了。