問題は3つの小問から構成されています。 * 問1: 2次方程式 $2x^2 - 4x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha + \beta$, $\alpha \beta$, $\alpha^2 + \beta^2$, $\alpha^3 + \beta^3$ の値を求める。 * 問2: 多項式 $x^3 + ax^2 - 5x + 3$ を $x + 2$ で割ったときの余りが $-7$ であるとき、$a$ の値を求める。 * 問3: 方程式 $2x^3 - x^2 - 6x + 8 = 0$ の解を求める。

はい、承知しました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は3つの小問から構成されています。

* 問1: 2次方程式 $2x^2 - 4x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha + \beta$, $\alpha \beta$, $\alpha^2 + \beta^2$, $\alpha^3 + \beta^3$ の値を求める。

* 問2: 多項式 $x^3 + ax^2 - 5x + 3$ を $x + 2$ で割ったときの余りが $-7$ であるとき、$a$ の値を求める。

* 問3: 方程式 $2x^3 - x^2 - 6x + 8 = 0$ の解を求める。

2. 解き方の手順

* 問1:

* 解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -\frac{-4}{2} = 2$、$\alpha \beta = \frac{3}{2}$。

* $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = 2^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} = 4 - 3 = 1$。

* $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta) = 2^3 - 3 \cdot \frac{3}{2} \cdot 2 = 8 - 9 = -1$。

* 問2:

* 余りの定理より、$P(x) = x^3 + ax^2 - 5x + 3$ を $x + 2$ で割った余りは $P(-2)$。

* $P(-2) = (-2)^3 + a(-2)^2 - 5(-2) + 3 = -8 + 4a + 10 + 3 = 4a + 5$。

* $4a + 5 = -7$ より、$4a = -12$ なので、$a = -3$。

* 問3:

* $P(x) = 2x^3 - x^2 - 6x + 8$ とおく。

* $P(-2) = 2(-2)^3 - (-2)^2 - 6(-2) + 8 = -16 - 4 + 12 + 8 = 0$ より、$x = -2$ は解である。

* 組み立て除法を行うと、$2x^3 - x^2 - 6x + 8 = (x + 2)(2x^2 - 5x + 4)$。

* $2x^2 - 5x + 4 = 0$ の解は、$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{-7}}{4} = \frac{5 \pm i\sqrt{7}}{4}$。

3. 最終的な答え

* 問1: $\alpha + \beta = 2$, $\alpha \beta = \frac{3}{2}$, $\alpha^2 + \beta^2 = 1$, $\alpha^3 + \beta^3 = -1$

* 問2: $a = -3$

* 問3: $x = -2, \frac{5 + i\sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i\sqrt{7}}{4}$

問３について、複素数解は求めなくて良いという指示であれば、実数解のみを答えるべきです。その場合は、$x = -2$ が答えとなります。

問題文に特に指示がない場合、通常は実数解のみを答えることが多いです。ここでは一応すべての解を記載しておきます。