数列$\{b_n\}$が漸化式 $2b_{n+1} - b_n + 3 = 0$ ( $n = 1, 2, 3, ...$ ) を満たすとき、数列$\{b_n\}$の一般項 $b_n$ を初項 $b_1$ を用いて表す問題です。具体的には、 $b_n = (b_1 + \text{キ}) (\frac{\text{ク}}{\text{ケ}})^{n-1} - \text{コ}$ の空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

数列$\{b_n\}$が漸化式 $2b_{n+1} - b_n + 3 = 0$ ( $n = 1, 2, 3, ...$ ) を満たすとき、数列$\{b_n\}$の一般項 $b_n$ を初項 $b_1$ を用いて表す問題です。具体的には、 $b_n = (b_1 + \text{キ}) (\frac{\text{ク}}{\text{ケ}})^{n-1} - \text{コ}$ の空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式を変形します。

$2b_{n+1} - b_n + 3 = 0$

$2b_{n+1} = b_n - 3$

$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n - \frac{3}{2}$

この漸化式を解くために、特性方程式 $x = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ を解きます。

$x = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$

$\frac{1}{2}x = -\frac{3}{2}$

$x = -3$

したがって、漸化式は次のように変形できます。

$b_{n+1} + 3 = \frac{1}{2}(b_n + 3)$

数列$\{b_n + 3\}$は、初項 $b_1 + 3$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列です。したがって、

$b_n + 3 = (b_1 + 3) (\frac{1}{2})^{n-1}$

$b_n = (b_1 + 3) (\frac{1}{2})^{n-1} - 3$

3. 最終的な答え

キ = 3

ク = 1

ケ = 2

コ = 3

$b_n = (b_1 + 3) (\frac{1}{2})^{n-1} - 3$