問題4：2次方程式 $x^2 + mx - m + 3 = 0$ が異なる2つの虚数解を持つとき、$m$ のとりうる値の範囲を求めます。 問題5：2次方程式 $x^2 + x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha + \beta$, $\alpha \beta$, $\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めます。

1. 問題の内容

問題4：2次方程式 $x^2 + mx - m + 3 = 0$ が異なる2つの虚数解を持つとき、$m$ のとりうる値の範囲を求めます。

問題5：2次方程式 $x^2 + x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha + \beta$, $\alpha \beta$, $\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

問題4：

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの虚数解を持つための条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac < 0$ であることです。

この問題では、$a = 1$, $b = m$, $c = -m + 3$ なので、判別式は

$D = m^2 - 4(1)(-m + 3) = m^2 + 4m - 12$

異なる2つの虚数解を持つためには、$D < 0$ でなければなりません。

$m^2 + 4m - 12 < 0$

$(m + 6)(m - 2) < 0$

したがって、$-6 < m < 2$ となります。

問題5：

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解 $\alpha, \beta$ について、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

この問題では、$a = 1$, $b = 1$, $c = 4$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{1}{1} = -1$

$\alpha \beta = \frac{4}{1} = 4$

また、$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ なので、

$\alpha^2 + \beta^2 = (-1)^2 - 2(4) = 1 - 8 = -7$

3. 最終的な答え

問題4：$-6 < m < 2$

問題5：$\alpha + \beta = -1$, $\alpha \beta = 4$, $\alpha^2 + \beta^2 = -7$