与えられた3つの方程式を解く問題です。 (1) $x^3 - 8 = 0$ (2) $x^4 + 6x^2 + 8 = 0$ (3) $x^3 + 4x^2 - 8 = 0$

1. 問題の内容

与えられた3つの方程式を解く問題です。

(1) $x^3 - 8 = 0$

(2) $x^4 + 6x^2 + 8 = 0$

(3) $x^3 + 4x^2 - 8 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 8 = 0$ は、$x^3 = 8$ と変形できます。これは $x^3 = 2^3$ とも書けるので、実数解は $x = 2$ です。複素数解を求めるためには、$x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0$ と因数分解できます。$x^2 + 2x + 4 = 0$ を解くと、解の公式より

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$

したがって、$x = 2, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3}$ が解です。

(2) $x^4 + 6x^2 + 8 = 0$ は、$y = x^2$ と置くと、$y^2 + 6y + 8 = 0$ となります。

これは $(y + 2)(y + 4) = 0$ と因数分解できるので、$y = -2, -4$ です。

$x^2 = -2$ のとき、$x = \pm \sqrt{-2} = \pm i\sqrt{2}$

$x^2 = -4$ のとき、$x = \pm \sqrt{-4} = \pm 2i$

したがって、$x = i\sqrt{2}, -i\sqrt{2}, 2i, -2i$ が解です。

(3) $x^3 + 4x^2 - 8 = 0$

この方程式を解くのは少し難しいです。有理数解を探すと、整数解は $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$ のいずれかです。これらの値を代入してみると、$x = -2$ のとき $(-2)^3 + 4(-2)^2 - 8 = -8 + 16 - 8 = 0$ となり、$x = -2$ が解の一つであることがわかります。

したがって、$x + 2$ は因数なので、多項式を除算します。

$(x^3 + 4x^2 - 8) \div (x+2) = x^2 + 2x - 4$

したがって、$x^3 + 4x^2 - 8 = (x + 2)(x^2 + 2x - 4) = 0$

$x^2 + 2x - 4 = 0$ を解くと、解の公式より

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$

したがって、$x = -2, -1 + \sqrt{5}, -1 - \sqrt{5}$ が解です。

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, -1+i\sqrt{3}, -1-i\sqrt{3}$

(2) $x = i\sqrt{2}, -i\sqrt{2}, 2i, -2i$

(3) $x = -2, -1+\sqrt{5}, -1-\sqrt{5}$