2次関数 $f(x) = x^2 - 4ax + b$ (a, b は定数) があり、$y = f(x)$ のグラフは点 $(1, 1)$ を通る。 (1) $b$ を $a$ を用いて表せ。 (2) $y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、$a$ の値を求めよ。また、そのときの接点の座標を求めよ。 (3) $x \geq 1$ において、常に不等式 $f(x) > 0$ が成り立つとき、$a$ のとりうる値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4ax + b$ (a, b は定数) があり、$y = f(x)$ のグラフは点 $(1, 1)$ を通る。

(1) $b$ を $a$ を用いて表せ。

(2) $y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、$a$ の値を求めよ。また、そのときの接点の座標を求めよ。

(3) $x \geq 1$ において、常に不等式 $f(x) > 0$ が成り立つとき、$a$ のとりうる値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = f(x)$ のグラフが点 $(1, 1)$ を通るので、$x = 1$ のとき $f(1) = 1$ である。

$f(1) = 1^2 - 4a(1) + b = 1 - 4a + b = 1$

よって、

$b = 4a$

(2) $y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、$f(x) = 0$ の判別式 $D$ が $D = 0$ となる。

$f(x) = x^2 - 4ax + b = x^2 - 4ax + 4a = 0$

$D = (-4a)^2 - 4(1)(4a) = 16a^2 - 16a = 16a(a - 1) = 0$

$a = 0, 1$

$a = 0$ のとき、$f(x) = x^2$ なので、接点は $(0, 0)$

$a = 1$ のとき、$f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$ なので、接点は $(2, 0)$

(3) $x \geq 1$ において、常に不等式 $f(x) > 0$ が成り立つとき、

$f(x) = x^2 - 4ax + 4a > 0$

$f(x) = (x - 2a)^2 - 4a^2 + 4a > 0$

$x \geq 1$ において $f(x) > 0$ が成り立つ条件は、

i) 軸 $x = 2a < 1$ かつ $f(1) > 0$

ii) 軸 $x = 2a \geq 1$ かつ 頂点の y 座標が $f(2a) > 0$

i) $2a < 1$ より、$a < \frac{1}{2}$

$f(1) = 1 - 4a + 4a = 1 > 0$ (常に成り立つ)

よって、$a < \frac{1}{2}$

ii) $2a \geq 1$ より、$a \geq \frac{1}{2}$

$-4a^2 + 4a > 0$

$4a(1 - a) > 0$

$a(a - 1) < 0$

$0 < a < 1$

$a \geq \frac{1}{2}$ と合わせると、$\frac{1}{2} \leq a < 1$

i), ii) より、$a < \frac{1}{2}$ または $\frac{1}{2} \leq a < 1$ なので、

$a < 1$

3. 最終的な答え

(1) $b = 4a$

(2) $a = 0$ のとき、接点は $(0, 0)$

$a = 1$ のとき、接点は $(2, 0)$

(3) $a < 1$