はい、承知いたしました。それでは、与えられた問題について順番に解いていきます。

はい、承知いたしました。それでは、与えられた問題について順番に解いていきます。

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1. 問題の内容**

4つの2次方程式が与えられており、それぞれの方程式について、解の間に特定の関係があるときに、定数 $m$ の値と2つの解を求める問題です。

(1) $x^2 - mx + 32 = 0$　 [1つの解が他の解の2倍]

(2) $x^2 - 10x + 3m = 0$　[1つの解の2倍が他の解の3倍]

(3) $x^2 - (m+2)x + 35 = 0$　[2つの解の差が2]

(4) $x^2 - 30x + m = 0$　[1つの解が他の解の2乗]

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2. 解き方の手順**

(1) $x^2 - mx + 32 = 0$

* 2つの解を $\alpha, 2\alpha$ とおく。

* 解と係数の関係より、

$\alpha + 2\alpha = m$

$\alpha \cdot 2\alpha = 32$

* 2番目の式から $2\alpha^2 = 32$ なので、 $\alpha^2 = 16$。

したがって、$\alpha = \pm 4$。

* $\alpha = 4$ のとき、 $m = 3\alpha = 3(4) = 12$。このとき、解は $4, 8$。

* $\alpha = -4$ のとき、 $m = 3\alpha = 3(-4) = -12$。このとき、解は $-4, -8$。

(2) $x^2 - 10x + 3m = 0$

* 2つの解を $\alpha, \frac{2}{3}\alpha$ とおく。

* 解と係数の関係より、

$\alpha + \frac{2}{3}\alpha = 10$

$\alpha \cdot \frac{2}{3}\alpha = 3m$

* 1番目の式から $\frac{5}{3}\alpha = 10$ なので、 $\alpha = 6$。

* 2番目の式に代入して $\frac{2}{3}(6^2) = 3m$ より、 $\frac{2}{3}(36) = 3m$ なので、$24 = 3m$。したがって、$m = 8$。

このとき、解は $6, 4$。

(3) $x^2 - (m+2)x + 35 = 0$

* 2つの解を $\alpha, \alpha+2$ とおく。

* 解と係数の関係より、

$\alpha + (\alpha+2) = m+2$

$\alpha (\alpha+2) = 35$

* 2番目の式から $\alpha^2 + 2\alpha - 35 = 0$。

$(\alpha + 7)(\alpha - 5) = 0$ なので、 $\alpha = -7, 5$。

* $\alpha = 5$ のとき、 $m+2 = 2(5)+2 = 12$ より、$m = 10$。このとき、解は $5, 7$。

* $\alpha = -7$ のとき、 $m+2 = 2(-7)+2 = -12$ より、$m = -14$。このとき、解は $-7, -5$。

(4) $x^2 - 30x + m = 0$

* 2つの解を $\alpha, \alpha^2$ とおく。

* 解と係数の関係より、

$\alpha + \alpha^2 = 30$

$\alpha \cdot \alpha^2 = m$

* 1番目の式から $\alpha^2 + \alpha - 30 = 0$。

$(\alpha + 6)(\alpha - 5) = 0$ なので、 $\alpha = -6, 5$。

* $\alpha = 5$ のとき、 $m = (5)^3 = 125$。このとき、解は $5, 25$。

* $\alpha = -6$ のとき、 $m = (-6)^3 = -216$。このとき、解は $-6, 36$。

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3. 最終的な答え**

(1) $m = 12$, 解は $4, 8$ または $m = -12$, 解は $-4, -8$

(2) $m = 8$, 解は $6, 4$

(3) $m = 10$, 解は $5, 7$ または $m = -14$, 解は $-7, -5$

(4) $m = 125$, 解は $5, 25$ または $m = -216$, 解は $-6, 36$