問題25では、実数 $a, b, c$ に関する二つの命題の真偽を判定します。 (1) $a=0$ ならば $ab=0$ である。 (2) $ac=bc$ ならば $a=b$ である。 問題26では、$x$ は実数、$n$ は整数とします。集合を用いて、次の命題の真偽を判定します。 (1) $x < -3$ ならば $2x + 4 \leq 0$ (2) $n$ は18の正の約数 ならば $n$ は24の正の約数

1. 問題の内容

問題25では、実数 $a, b, c$ に関する二つの命題の真偽を判定します。

(1) $a=0$ ならば $ab=0$ である。

(2) $ac=bc$ ならば $a=b$ である。

問題26では、$x$ は実数、$n$ は整数とします。集合を用いて、次の命題の真偽を判定します。

(1) $x < -3$ ならば $2x + 4 \leq 0$

(2) $n$ は18の正の約数 ならば $n$ は24の正の約数

2. 解き方の手順

問題25

(1) $a=0$ のとき、$ab = 0 \cdot b = 0$ となるので、この命題は真です。

(2) $ac = bc$ より $ac - bc = 0$ 、つまり $c(a-b) = 0$ となります。したがって、$c=0$ または $a-b=0$ 、つまり $a=b$ です。$c=0$ の場合は $a$ と $b$ がどんな値でも $ac=bc=0$ が成り立ちます。例えば、$a=1, b=2, c=0$ とすると、$ac = 0, bc = 0$ となり $ac = bc$ は成り立ちますが、$a \neq b$ です。したがってこの命題は偽です。

問題26

(1) $x < -3$ のとき、$2x < -6$ となります。したがって、$2x + 4 < -6 + 4 = -2 < 0$ 。よって、$2x + 4 \leq 0$ が成り立ちます。

この命題は真です。

(2) 18の正の約数は $1, 2, 3, 6, 9, 18$ です。24の正の約数は $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ です。

18の正の約数である $9$ は24の約数ではありません。よって、この命題は偽です。

3. 最終的な答え

問題25

(1) 真

(2) 偽

問題26

(1) 真

(2) 偽