$x$ の2次方程式 $x^2 + kx - (k+1) = 0$ の1つの解が $k+2$ であるとき、定数 $k$ の値とそのときの解を求めよ。

1. 問題の内容

$x$ の2次方程式 $x^2 + kx - (k+1) = 0$ の1つの解が $k+2$ であるとき、定数 $k$ の値とそのときの解を求めよ。

2. 解き方の手順

ステップ1: 解 $x = k+2$ を方程式に代入する。

$x = k+2$ を $x^2 + kx - (k+1) = 0$ に代入すると、

$(k+2)^2 + k(k+2) - (k+1) = 0$

ステップ2: $k$ についての方程式を整理する。

$(k^2 + 4k + 4) + (k^2 + 2k) - (k+1) = 0$

$2k^2 + 5k + 3 = 0$

ステップ3: $k$ についての方程式を解く。

$2k^2 + 5k + 3 = 0$ を因数分解する。

$(2k + 3)(k + 1) = 0$

よって、$k = -1$ または $k = -\frac{3}{2}$

ステップ4: 各 $k$ の値に対して、もう一つの解を求める。

(i) $k = -1$ のとき:

与えられた解は $x = k+2 = -1+2 = 1$。

方程式は $x^2 - x = 0$ となる。

$x(x-1) = 0$

よって、$x = 0$ または $x = 1$。

$x = 1$ は既に分かっているので、もう一つの解は $x = 0$。

(ii) $k = -\frac{3}{2}$ のとき:

与えられた解は $x = k+2 = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$。

方程式は $x^2 - \frac{3}{2}x - (-\frac{3}{2} + 1) = 0$

$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = 0$

$2x^2 - 3x + 1 = 0$

$(2x - 1)(x - 1) = 0$

よって、$x = \frac{1}{2}$ または $x = 1$。

$x = \frac{1}{2}$ は既に分かっているので、もう一つの解は $x = 1$。

3. 最終的な答え

$k = -1$ のとき、もう一つの解は $x = 0$。

$k = -\frac{3}{2}$ のとき、もう一つの解は $x = 1$。