2次関数 $y = x^2 + 2ax + 2a^2 + 4a - 5$ が与えられている。 (1) このグラフが原点(0,0)を通るときの $a$ の値を求める。 (2) このグラフが $x$ 軸と共有点を持つような $a$ の値の範囲を求める。 (3) このグラフが $x$ 軸の正の部分と共有点を1つだけ持つときの $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2ax + 2a^2 + 4a - 5$ が与えられている。

(1) このグラフが原点(0,0)を通るときの $a$ の値を求める。

(2) このグラフが $x$ 軸と共有点を持つような $a$ の値の範囲を求める。

(3) このグラフが $x$ 軸の正の部分と共有点を1つだけ持つときの $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) グラフが原点(0,0)を通るとき、$x=0, y=0$ を代入する。

$0 = 0^2 + 2a(0) + 2a^2 + 4a - 5$

$2a^2 + 4a - 5 = 0$

これを $a$ について解く。

(2) グラフが $x$ 軸と共有点を持つ条件は、判別式 $D \geq 0$ である。

$D = (2a)^2 - 4(1)(2a^2 + 4a - 5)$

$D = 4a^2 - 8a^2 - 16a + 20$

$D = -4a^2 - 16a + 20$

$-4a^2 - 16a + 20 \geq 0$

$a^2 + 4a - 5 \leq 0$

$(a+5)(a-1) \leq 0$

これを $a$ について解く。

(3) グラフが $x$ 軸の正の部分と共有点を1つだけ持つ条件は、以下の2つの場合が考えられる。

(i) グラフが $x$ 軸とただ1点で交わり、その点が $x>0$ である場合。

(ii) グラフが $x$ 軸と2点で交わり、一方の点が $x>0$, もう一方が $x\leq 0$ である場合。

まず、(2)の結果より、グラフが$x$軸と共有点を持つための$a$の範囲は $-5 \leq a \leq 1$ である。

(i) の場合、$D = 0$ より、$a = -5, 1$。

$a=-5$ のとき、$y = x^2 - 10x + 50 - 20 - 5 = x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$. よって、$x=5 > 0$.

$a=1$ のとき、$y = x^2 + 2x + 2 + 4 - 5 = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. よって、$x=-1 < 0$.

したがって、$a=-5$ は条件を満たす。

(ii) の場合、$x$ 軸との交点が正と負になるためには、$x=0$ のとき $y<0$ であれば良い。

$y(0) = 2a^2 + 4a - 5 < 0$

$2a^2 + 4a - 5 = 0$ の解は、$a = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 40}}{4} = \frac{-4 \pm \sqrt{56}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{14}}{2}$.

したがって、$\frac{-2 - \sqrt{14}}{2} < a < \frac{-2 + \sqrt{14}}{2}$。

ここで、$3 < \sqrt{14} < 4$ であるから、$0.5 < \frac{-2 + \sqrt{14}}{2} < 1$, $-2.5 < \frac{-2 - \sqrt{14}}{2} < -3$.

条件 $-5 \leq a \leq 1$ と $\frac{-2 - \sqrt{14}}{2} < a < \frac{-2 + \sqrt{14}}{2}$ より、$\frac{-2 - \sqrt{14}}{2} < a < \frac{-2 + \sqrt{14}}{2}$.

グラフが$x$軸の正の部分と共有点を1つだけもつとき、それは $a=-5$ または $\frac{-2 - \sqrt{14}}{2} < a < \frac{-2 + \sqrt{14}}{2}$ である。

ここで、$\frac{-2+\sqrt{14}}{2} = 0.87 < 1$ より、$a=1$は条件を満たさない。

最終的な答え

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{-2 \pm \sqrt{14}}{2}$

(2) $-5 \leq a \leq 1$

(3) $\frac{-2-\sqrt{14}}{2} < a \leq \frac{-2+\sqrt{14}}{2}$, $a = -5$