整式 $x^3 + 4x^2 - x - 11$ を整式 $A$ で割ると、商が $x^2 + 2x - 5$ で、余りが $-1$ となる。このとき、整式 $A$ を求めよ。

1. 問題の内容

整式 $x^3 + 4x^2 - x - 11$ を整式 $A$ で割ると、商が $x^2 + 2x - 5$ で、余りが $-1$ となる。このとき、整式 $A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

整式の割り算の関係式を利用します。

割られる式 = 割る式 × 商 + 余り

という関係が成り立ちます。

今回の問題に当てはめると、

$x^3 + 4x^2 - x - 11 = A(x^2 + 2x - 5) + (-1)$

となります。

この式を変形して $A$ を求めます。

まず、両辺に $1$ を足します。

$x^3 + 4x^2 - x - 10 = A(x^2 + 2x - 5)$

次に、両辺を $(x^2 + 2x - 5)$ で割ります。

$A = \frac{x^3 + 4x^2 - x - 10}{x^2 + 2x - 5}$

ここで、実際に割り算を行います。

$x^3 + 4x^2 - x - 10$ を $x^2 + 2x - 5$ で割ると、

商が $x + 2$ 、余りが $0$ となります。

よって、$A = x + 2$ となります。

3. 最終的な答え

$A = x + 2$