与えられた2次方程式に関する問題です。 (1) 2次方程式 $3x^2 - 9x + k = 0$ が実数解をもたないときの、定数 $k$ の値の範囲を求める。 (2) 2次方程式 $16x^2 + 4x + k = 0$ が重解をもつときの、定数 $k$ の値と、そのときの解を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式に関する問題です。

(1) 2次方程式 $3x^2 - 9x + k = 0$ が実数解をもたないときの、定数 $k$ の値の範囲を求める。

(2) 2次方程式 $16x^2 + 4x + k = 0$ が重解をもつときの、定数 $k$ の値と、そのときの解を求める。

2. 解き方の手順

(1)

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が実数解をもたない条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac < 0$ です。

この問題では、$a = 3$, $b = -9$, $c = k$ なので、判別式 $D$ は

$D = (-9)^2 - 4(3)(k) = 81 - 12k$

実数解をもたない条件 $D < 0$ を適用すると、

$81 - 12k < 0$

$12k > 81$

$k > \frac{81}{12} = \frac{27}{4}$

(2)

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が重解をもつ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac = 0$ です。

この問題では、$a = 16$, $b = 4$, $c = k$ なので、判別式 $D$ は

$D = (4)^2 - 4(16)(k) = 16 - 64k$

重解をもつ条件 $D = 0$ を適用すると、

$16 - 64k = 0$

$64k = 16$

$k = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$

$k = \frac{1}{4}$ を $16x^2 + 4x + k = 0$ に代入すると、

$16x^2 + 4x + \frac{1}{4} = 0$

$64x^2 + 16x + 1 = 0$

$(8x + 1)^2 = 0$

$8x + 1 = 0$

$x = -\frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $k > \frac{27}{4}$

(2) $k = \frac{1}{4}$, 解は $x = -\frac{1}{8}$