問題は、以下の不等式と方程式を解くことです。 (1) 連立不等式 $ \begin{cases} 2x + 3 < 3x + 5 \\ 2(x+3) \le -x + 9 \end{cases} $ (2) 連立不等式 $-4x + 1 < 7 - 3x < x - 1$ (3) 絶対値方程式 $|x - 3| = 5$ (4) 絶対値不等式 $|x - 3| < 5$ (5) 絶対値不等式 $|x - 3| \ge 5$

1. 問題の内容

問題は、以下の不等式と方程式を解くことです。

(1) 連立不等式

$$

\begin{cases}

2x + 3 < 3x + 5 \\

2(x+3) \le -x + 9

\end{cases}

$$

(2) 連立不等式

$-4x + 1 < 7 - 3x < x - 1$

(3) 絶対値方程式

$|x - 3| = 5$

(4) 絶対値不等式

$|x - 3| < 5$

(5) 絶対値不等式

$|x - 3| \ge 5$

2. 解き方の手順

(1) 連立不等式

まず、それぞれの不等式を解きます。

$2x + 3 < 3x + 5$ より、 $x > -2$

$2(x+3) \le -x + 9$ より、$2x + 6 \le -x + 9$, $3x \le 3$, $x \le 1$

したがって、 $-2 < x \le 1$

(2) 連立不等式

この不等式は、$

\begin{cases}

-4x + 1 < 7 - 3x \\

7 - 3x < x - 1

\end{cases}

$と分解できます。

$-4x + 1 < 7 - 3x$ より、$-x < 6$, $x > -6$

$7 - 3x < x - 1$ より、$8 < 4x$, $x > 2$

したがって、$x > 2$

(3) 絶対値方程式

$|x - 3| = 5$ より、$x - 3 = 5$ または $x - 3 = -5$

$x - 3 = 5$ のとき、$x = 8$

$x - 3 = -5$ のとき、$x = -2$

(4) 絶対値不等式

$|x - 3| < 5$ より、$-5 < x - 3 < 5$

各辺に3を足して、$-2 < x < 8$

(5) 絶対値不等式

$|x - 3| \ge 5$ より、$x - 3 \ge 5$ または $x - 3 \le -5$

$x - 3 \ge 5$ のとき、$x \ge 8$

$x - 3 \le -5$ のとき、$x \le -2$

したがって、$x \le -2$ または $x \ge 8$

3. 最終的な答え

(1) $-2 < x \le 1$

(2) $x > 2$

(3) $x = 8, -2$

(4) $-2 < x < 8$

(5) $x \le -2$ または $x \ge 8$