2つの2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 3$ と $g(x) = 2x^2 - ax + a - 1$ が与えられています。ただし、$a$ は定数です。 (1) 2次不等式 $f(x) < 0$ を解きます。 (2) $y = g(x)$ のグラフが $x$ 軸と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求めます。 (3) $y = g(x)$ のグラフが、(1)で求めた $x$ の値の範囲において、$x$ 軸と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2つの2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 3$ と $g(x) = 2x^2 - ax + a - 1$ が与えられています。ただし、$a$ は定数です。

(1) 2次不等式 $f(x) < 0$ を解きます。

(2) $y = g(x)$ のグラフが $x$ 軸と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求めます。

(3) $y = g(x)$ のグラフが、(1)で求めた $x$ の値の範囲において、$x$ 軸と異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2 - 4x + 3 < 0$ を解きます。

$f(x) = (x - 1)(x - 3) < 0$ より、 $1 < x < 3$ となります。

(2) $y = g(x) = 2x^2 - ax + a - 1$ のグラフが $x$ 軸と異なる2点で交わるためには、判別式 $D > 0$ である必要があります。

$D = (-a)^2 - 4(2)(a - 1) = a^2 - 8a + 8$

$a^2 - 8a + 8 > 0$ を解きます。

$a = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{2}$

したがって、$a < 4 - 2\sqrt{2}$ または $a > 4 + 2\sqrt{2}$ です。

(3) $y = g(x) = 2x^2 - ax + a - 1$ について、$1 < x < 3$ の範囲で、$g(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つための条件を求めます。

$g(1) = 2 - a + a - 1 = 1 > 0$

$g(3) = 2(9) - 3a + a - 1 = 18 - 2a - 1 = 17 - 2a$

$g(3) > 0$ より、$17 - 2a > 0$ 、$2a < 17$ 、$a < \frac{17}{2} = 8.5$

軸 $x = \frac{a}{4}$ が、$1 < x < 3$ の範囲にある必要があります。

$1 < \frac{a}{4} < 3$

$4 < a < 12$

判別式 $D = a^2 - 8a + 8 > 0$ も必要です。

したがって、$4 < a < 4 - 2\sqrt{2}$ （これはありえない）または、$4 + 2\sqrt{2} < a < 12$ です。

$4 + 2\sqrt{2} \approx 4 + 2(1.414) = 4 + 2.828 = 6.828$

$4 + 2\sqrt{2} < a < 8.5$

3. 最終的な答え

(1) $1 < x < 3$

(2) $a < 4 - 2\sqrt{2}$ または $a > 4 + 2\sqrt{2}$

(3) $4 + 2\sqrt{2} < a < \frac{17}{2}$