$\sqrt{11-6\sqrt{2}}$ を二重根号を外して簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{11-6\sqrt{2}}$ を二重根号を外して簡単にせよ。

2. 解き方の手順

二重根号を外すためには、根号の中身を $(a-b)^2$ の形に書き換えることを目指します。

まず、$\sqrt{11-6\sqrt{2}}$ の $6\sqrt{2}$ を $2\sqrt{18}$ と変形します。

すると、

$\sqrt{11-2\sqrt{18}}$

となります。

次に、$a + b = 11$ かつ $ab = 18$ となる $a, b$ を探します。

$a$ と $b$ は、$x^2 - 11x + 18 = 0$ の解となります。

この二次方程式を解くと、

$(x-2)(x-9) = 0$

より、$x = 2, 9$ となります。

したがって、$a = 9, b = 2$ と置くことができます。

$\sqrt{11-2\sqrt{18}} = \sqrt{9 - 2\sqrt{9 \times 2} + 2} = \sqrt{(\sqrt{9} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{(3 - \sqrt{2})^2} = |3 - \sqrt{2}|$

$3 > \sqrt{2}$ なので、$|3 - \sqrt{2}| = 3 - \sqrt{2}$

となります。

3. 最終的な答え

$3-\sqrt{2}$