2次関数 $y = x^2 - 2ax + 1$ の $0 \le x \le 2$ における最小値 $m$ を、$a$ の式で表す。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax + 1$ の $0 \le x \le 2$ における最小値 $m$ を、$a$ の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax + 1 = (x - a)^2 - a^2 + 1$

この2次関数の軸は $x = a$ です。定義域 $0 \le x \le 2$ 内における最小値を考えます。軸の位置によって場合分けを行います。

(i) $a < 0$ のとき

定義域内で関数は単調減少なので、$x = 0$ で最小値をとります。

$m = (0 - a)^2 - a^2 + 1 = a^2 - a^2 + 1 = 1$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき

軸が定義域内にあるので、$x = a$ で最小値をとります。

$m = (a - a)^2 - a^2 + 1 = -a^2 + 1$

(iii) $a > 2$ のとき

定義域内で関数は単調増加なので、$x = 2$ で最小値をとります。

$m = (2 - a)^2 - a^2 + 1 = 4 - 4a + a^2 - a^2 + 1 = -4a + 5$

したがって、求める最小値 $m$ は、

$a < 0$ のとき $m = 1$

$0 \le a \le 2$ のとき $m = -a^2 + 1$

$a > 2$ のとき $m = -4a + 5$

3. 最終的な答え

$$

m =

\begin{cases}

1 & (a < 0) \\

-a^2 + 1 & (0 \le a \le 2) \\

-4a + 5 & (a > 2)

\end{cases}

$$