2次関数 $y = 2x^2 - 2x + 1$ の、$-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 2x + 1$ の、$-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 2x + 1 = 2(x^2 - x) + 1$

$y = 2(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 1 = 2((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) + 1$

$y = 2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1 = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$

したがって、頂点の座標は $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ です。

$x = \frac{1}{2}$ は $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$ の範囲に含まれています。

次に、定義域の両端の $x$ の値を関数に代入して $y$ の値を求めます。

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、$y = 2(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} = 2(-1)^2 + \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

$x = \frac{5}{2}$ のとき、$y = 2(\frac{5}{2} - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} = 2(2)^2 + \frac{1}{2} = 8 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2}$

頂点の $y$ 座標は $\frac{1}{2}$ であり、これは最小値の候補です。

定義域の両端の $y$ 座標は $\frac{5}{2}$ と $\frac{17}{2}$ です。

したがって、最小値は $y = \frac{1}{2}$ ($x = \frac{1}{2}$ のとき)、最大値は $y = \frac{17}{2}$ ($x = \frac{5}{2}$ のとき)となります。

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{17}{2}$

最小値：$\frac{1}{2}$