$3 + \sqrt{2}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $a$ と $b$ の値を求める。 (2) $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$3 + \sqrt{2}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $a$ と $b$ の値を求める。

(2) $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a$ と $b$ の値を求める。

$\sqrt{2}$ は $1$ と $2$ の間にあります。より正確には $1.4 < \sqrt{2} < 1.5$ です。

したがって、$3 + 1.4 < 3 + \sqrt{2} < 3 + 1.5$、つまり $4.4 < 3 + \sqrt{2} < 4.5$ となります。

よって、$3 + \sqrt{2}$ の整数部分は $4$ なので、$a = 4$ です。

小数部分 $b$ は、$3 + \sqrt{2}$ から整数部分 $a = 4$ を引いたものなので、$b = (3 + \sqrt{2}) - 4 = \sqrt{2} - 1$ です。

(2) $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ の値を求める。

$a = 4$、$b = \sqrt{2} - 1$ を代入して計算します。

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \frac{\sqrt{2}-1}{4} + \frac{4}{\sqrt{2}-1}$

ここで、$\frac{4}{\sqrt{2}-1}$ の分母を有理化します。

$\frac{4}{\sqrt{2}-1} = \frac{4(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{4(\sqrt{2}+1)}{2-1} = 4(\sqrt{2}+1) = 4\sqrt{2} + 4$

したがって、

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \frac{\sqrt{2}-1}{4} + 4\sqrt{2} + 4 = \frac{\sqrt{2}-1 + 16\sqrt{2} + 16}{4} = \frac{17\sqrt{2}+15}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4$, $b = \sqrt{2} - 1$

(2) $\frac{17\sqrt{2}+15}{4}$