以下の4つの問題について解答します。 (1) 2次方程式 $x^2 + 3x - 2 = 0$ の実数解の個数を求める。 (2) 2次方程式 $x^2 + (2k - 1)x + k^2 - 3k - 1 = 0$ が実数解をもつような、定数 $k$ の値の範囲を定める。 (3) 放物線 $y = x^2 - 3x + 3$ と直線 $y = 2x - a$ のグラフが共有点をもたないように、定数 $a$ の値の範囲を定める。 (4) $x$ についての2次不等式 $x^2 + ax + b \ge 0$ の解が $x \le -1, 3 \le x$ となるように、定数 $a, b$ の値を定める。

1. 問題の内容

以下の4つの問題について解答します。

(1) 2次方程式 $x^2 + 3x - 2 = 0$ の実数解の個数を求める。

(2) 2次方程式 $x^2 + (2k - 1)x + k^2 - 3k - 1 = 0$ が実数解をもつような、定数 $k$ の値の範囲を定める。

(3) 放物線 $y = x^2 - 3x + 3$ と直線 $y = 2x - a$ のグラフが共有点をもたないように、定数 $a$ の値の範囲を定める。

(4) $x$ についての2次不等式 $x^2 + ax + b \ge 0$ の解が $x \le -1, 3 \le x$ となるように、定数 $a, b$ の値を定める。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 + 3x - 2 = 0$ の判別式 $D$ を計算する。

$D = 3^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17$

$D > 0$ なので、実数解の個数は2個。

(2) 2次方程式 $x^2 + (2k - 1)x + k^2 - 3k - 1 = 0$ の判別式 $D$ を計算する。

$D = (2k - 1)^2 - 4(1)(k^2 - 3k - 1)$

$D = 4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 + 12k + 4$

$D = 8k + 5$

実数解をもつ条件は $D \ge 0$ なので、

$8k + 5 \ge 0$

$8k \ge -5$

$k \ge -\frac{5}{8}$

(3) 放物線 $y = x^2 - 3x + 3$ と直線 $y = 2x - a$ の共有点をもたない条件を求める。

$x^2 - 3x + 3 = 2x - a$

$x^2 - 5x + 3 + a = 0$

この2次方程式が実数解をもたない条件は、判別式 $D < 0$ であること。

$D = (-5)^2 - 4(1)(3 + a) = 25 - 12 - 4a = 13 - 4a$

$13 - 4a < 0$

$4a > 13$

$a > \frac{13}{4}$

(4) 2次不等式 $x^2 + ax + b \ge 0$ の解が $x \le -1, 3 \le x$ となる条件を求める。

これは、2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の解が $x = -1, 3$ であることを意味する。

解と係数の関係より、

$-1 + 3 = -a$

$(-1)(3) = b$

よって、$a = -2, b = -3$

3. 最終的な答え

(1) 2個

(2) $k \ge -\frac{5}{8}$

(3) $a > \frac{13}{4}$

(4) $a = -2, b = -3$