$x$ の3次式 $f(x) = x^3 - (k+2)x^2 + (k^2 + 2k - 2)x - k^3 + 2k$ について、以下の問いに答える。ただし、$k$ は正の定数とする。 (1) $f(k)$ を求めよ。 (2) $k=1$ のとき、$f(x) = 0$ を解け。 (3) $f(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $k$ の値の範囲を求め、そのとき $f(x) = 0$ を解け。 (4) 実数 $x$ に対して、$x$ 以下の最大の整数を $[x]$ と表す。(3) のとき、$f(x)=0$の異なる2つの解$\alpha, \beta$ で $[\alpha] = [\beta]$ を満たすものが存在するような $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$x$ の3次式 $f(x) = x^3 - (k+2)x^2 + (k^2 + 2k - 2)x - k^3 + 2k$ について、以下の問いに答える。ただし、$k$ は正の定数とする。

(1) $f(k)$ を求めよ。

(2) $k=1$ のとき、$f(x) = 0$ を解け。

(3) $f(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $k$ の値の範囲を求め、そのとき $f(x) = 0$ を解け。

(4) 実数 $x$ に対して、$x$ 以下の最大の整数を $[x]$ と表す。(3) のとき、$f(x)=0$の異なる2つの解$\alpha, \beta$ で $[\alpha] = [\beta]$ を満たすものが存在するような $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(k)$ を計算する。

$f(k) = k^3 - (k+2)k^2 + (k^2 + 2k - 2)k - k^3 + 2k$

$f(k) = k^3 - k^3 - 2k^2 + k^3 + 2k^2 - 2k - k^3 + 2k$

$f(k) = 0$

(2) $k=1$ のとき、

$f(x) = x^3 - (1+2)x^2 + (1+2-2)x - 1 + 2$

$f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 1$

$f(1) = 1 - 3 + 1 + 1 = 0$ なので、$x-1$ を因数に持つ。

$x^3 - 3x^2 + x + 1 = (x-1)(x^2 - 2x - 1) = 0$

$x^2 - 2x - 1 = 0$ より、$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

よって、$x = 1, 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

(3) $f(x) = x^3 - (k+2)x^2 + (k^2 + 2k - 2)x - k^3 + 2k$

$f(x) = (x-k)(x^2 - 2x + k^2 - 2)$

$f(x)=0$ は $x=k$ を解に持つ。

$x^2 - 2x + k^2 - 2 = 0$ が $x=k$ 以外の異なる2つの実数解を持つ条件を考える。

$x^2 - 2x + k^2 - 2 = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D/4 = 1 - (k^2 - 2) = 3 - k^2$

異なる2つの実数解を持つためには $D > 0$ より、 $3 - k^2 > 0$

$k^2 < 3$ より、 $-\sqrt{3} < k < \sqrt{3}$

$x=k$ が解ではないので、$k^2 - 2k + k^2 - 2 \ne 0$

$2k^2 - 2k - 2 \ne 0$

$k^2 - k - 1 \ne 0$

$k = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$k > 0$ より $0 < k < \sqrt{3}$ で $k \ne \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$x^2 - 2x + k^2 - 2 = 0$ の解は $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(k^2-2)}}{2} = 1 \pm \sqrt{3-k^2}$

解は、$k, 1 + \sqrt{3-k^2}, 1 - \sqrt{3-k^2}$

(4) (3) のとき、$k, 1 + \sqrt{3-k^2}, 1 - \sqrt{3-k^2}$ のうち、異なる2つの解$\alpha, \beta$ で $[\alpha] = [\beta]$ を満たすものが存在する。

$0 < k < \sqrt{3}$ かつ $k \ne \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$1 + \sqrt{3-k^2} > 1$

$1 - \sqrt{3-k^2} < 1$

$k < 1-\sqrt{3-k^2}$ かつ $k>1 + \sqrt{3-k^2}$ を満たすとき，$[\alpha] = [\beta]$ を満たす解は存在しない。

[$k$] = [$1 - \sqrt{3-k^2}$] = [$1 + \sqrt{3-k^2}$] となる時を考える。

$1 + \sqrt{3-k^2} < 2$ より $\sqrt{3-k^2} < 1$

$3-k^2 < 1$ より $k^2 > 2$

$k > \sqrt{2}$

$k \ne \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ より $\sqrt{2} < k < \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $f(k) = 0$

(2) $x = 1, 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

(3) $0 < k < \sqrt{3}$, $k \ne \frac{1+\sqrt{5}}{2}$。解は $x = k, 1 + \sqrt{3-k^2}, 1 - \sqrt{3-k^2}$

(4) $\sqrt{2} < k < \sqrt{3}$