問題27は、命題 $p$ と $q$ が与えられたとき、$p$ が $q$ であるための必要条件、十分条件、必要十分条件のどれに当てはまるかを選ぶ問題です。 (1) $p: x^2 - x = 0$、$q: x = 1$ (2) 四角形について、$p:$ ひし形である、$q:$ 対角線が垂直に交わる 選択肢は次の3つです。 1. 必要十分条件である

1. 問題の内容

問題27は、命題 $p$ と $q$ が与えられたとき、$p$ が $q$ であるための必要条件、十分条件、必要十分条件のどれに当てはまるかを選ぶ問題です。

(1) $p: x^2 - x = 0$、$q: x = 1$

(2) 四角形について、$p:$ ひし形である、$q:$ 対角線が垂直に交わる

選択肢は次の3つです。

1. 必要十分条件である

2. 必要条件であるが、十分条件ではない

3. 十分条件であるが、必要条件ではない

2. 解き方の手順

(1) $p: x^2 - x = 0$、$q: x = 1$

$x^2 - x = 0$ を解くと、$x(x-1) = 0$ より、$x = 0, 1$ となります。

したがって、命題 $p$ を満たす $x$ の集合は $\{0, 1\}$ です。命題 $q$ を満たす $x$ の集合は $\{1\}$ です。

$p \implies q$ について：

$x = 0$ のとき、$x^2 - x = 0$ ですが、$x = 1$ ではありません。したがって、$p \implies q$ は偽です。

$q \implies p$ について：

$x = 1$ のとき、$x^2 - x = 1^2 - 1 = 0$ です。したがって、$q \implies p$ は真です。

$p \implies q$ が偽で、$q \implies p$ が真なので、$p$ は $q$ であるための必要条件ですが、十分条件ではありません。

(2) 四角形について、$p:$ ひし形である、$q:$ 対角線が垂直に交わる

ひし形は、4辺の長さがすべて等しい四角形です。

ひし形の対角線は垂直に交わります。

したがって、$p \implies q$ は真です。

対角線が垂直に交わる四角形は、ひし形とは限りません。例えば、凧形（たこ形）も対角線が垂直に交わります。

したがって、$q \implies p$ は偽です。

$p \implies q$ が真で、$q \implies p$ が偽なので、$p$ は $q$ であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $p: x^2 - x = 0$、$q: x = 1$ のとき、pはqであるための必要条件であるが、十分条件ではない。　答え: 2

(2) 四角形について、$p:$ ひし形である、$q:$ 対角線が垂直に交わる　pはqであるための十分条件であるが、必要条件ではない。　答え: 3