(3) $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ と (4) $\frac{\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}$ をそれぞれ計算し、分母を有理化する問題です。

1. 問題の内容

(3) $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ と (4) $\frac{\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}$ をそれぞれ計算し、分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

(3) $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化します。分母の共役な複素数 $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ を分子と分母にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$

$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3}$

$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

(4) $\frac{\sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}}$ の分母を有理化します。分母の共役な複素数 $2 + \sqrt{5}$ を分子と分母にかけます。

$\frac{\sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} \cdot \frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}$

$= \frac{\sqrt{5}(2 + \sqrt{5})}{2^2 - (\sqrt{5})^2}$

$= \frac{2\sqrt{5} + 5}{4 - 5}$

$= \frac{2\sqrt{5} + 5}{-1}$

$= -5 - 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(3) $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

(4) $-5 - 2\sqrt{5}$