(1) $x^3 - 3x^2 - 50 = 0$ の実数解をすべて求める。 (2) 実数 $p, q$ が $p+q = pq$ を満たすとき、$X = pq$ とおき、$p^3 + q^3$ を $X$ で表す。 (3) $p^3 + q^3 = 50$, $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, $p < q$ を満たす 0 でない実数の組 $(p, q)$ をすべて求める。

1. 問題の内容

(1) $x^3 - 3x^2 - 50 = 0$ の実数解をすべて求める。

(2) 実数 $p, q$ が $p+q = pq$ を満たすとき、$X = pq$ とおき、$p^3 + q^3$ を $X$ で表す。

(3) $p^3 + q^3 = 50$, $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, $p < q$ を満たす 0 でない実数の組 $(p, q)$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 3x^2 - 50 = 0$

$x^3 - 3x^2 - 50 = (x-5)(x^2+2x+10) = 0$

$x-5=0$ または $x^2+2x+10=0$

$x = 5$

$x^2+2x+10=0$ の判別式 $D = 2^2 - 4*1*10 = 4 - 40 = -36 < 0$ より、実数解を持たない。

したがって、実数解は $x=5$ のみ。

(2) $p+q = pq = X$

$(p+q)^3 = p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3 = p^3 + q^3 + 3pq(p+q)$

$X^3 = p^3 + q^3 + 3X*X$

$p^3 + q^3 = X^3 - 3X^2$

(3) $p^3 + q^3 = 50$

$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{p+q}{pq} = 1$

$p+q = pq$

$p+q = pq = X$ とおく。

(2)より $p^3 + q^3 = X^3 - 3X^2$

$X^3 - 3X^2 = 50$

$X^3 - 3X^2 - 50 = 0$

(1)と同様に $X^3 - 3X^2 - 50 = (X-5)(X^2+2X+10) = 0$

$X = 5$

$p+q = pq = 5$

$q = 5-p$

$p(5-p) = 5$

$5p - p^2 = 5$

$p^2 - 5p + 5 = 0$

$p = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4*1*5}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$

$p = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$ のとき $q = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$

$p = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$ のとき $q = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$

$p < q$ より $p = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$ , $q = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 5$

(2) $p^3 + q^3 = X^3 - 3X^2$

(3) $(p, q) = (\frac{5 - \sqrt{5}}{2}, \frac{5 + \sqrt{5}}{2})$