次の4つの2次方程式を解きます。 (1) $2(x-1)^2 = 4(x-1) + 3$ (2) $(2x+3)^2 = (2x-1)(x+9) + 25$ (3) $\sqrt{2}x^2 + \sqrt{14}x - \sqrt{8} = 0$ (4) $ax^2 - (2a-1)x - 2 = 0$ (ただし、$a \neq 0$、$a$は定数)

はい、承知いたしました。それでは、画像にある2次方程式の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の4つの2次方程式を解きます。

(1) $2(x-1)^2 = 4(x-1) + 3$

(2) $(2x+3)^2 = (2x-1)(x+9) + 25$

(3) $\sqrt{2}x^2 + \sqrt{14}x - \sqrt{8} = 0$

(4) $ax^2 - (2a-1)x - 2 = 0$ (ただし、$a \neq 0$、$a$は定数)

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた方程式を展開し、整理します。

$2(x^2 - 2x + 1) = 4x - 4 + 3$

$2x^2 - 4x + 2 = 4x - 1$

$2x^2 - 8x + 3 = 0$

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて解きます。

$a = 2, b = -8, c = 3$ なので、

$x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{4} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$

(2)

与えられた方程式を展開し、整理します。

$(2x+3)^2 = (2x-1)(x+9) + 25$

$4x^2 + 12x + 9 = 2x^2 + 18x - x - 9 + 25$

$4x^2 + 12x + 9 = 2x^2 + 17x + 16$

$2x^2 - 5x - 7 = 0$

因数分解を試みます。

$(2x - 7)(x + 1) = 0$

よって、$x = \frac{7}{2}$ または $x = -1$。

(3)

与えられた方程式を整理します。

$\sqrt{2}x^2 + \sqrt{14}x - \sqrt{8} = 0$

$\sqrt{2}x^2 + \sqrt{14}x - 2\sqrt{2} = 0$

両辺を $\sqrt{2}$ で割ります。

$x^2 + \sqrt{7}x - 2 = 0$

解の公式を用いて解きます。

$x = \frac{-\sqrt{7} \pm \sqrt{(\sqrt{7})^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-\sqrt{7} \pm \sqrt{7 + 8}}{2} = \frac{-\sqrt{7} \pm \sqrt{15}}{2}$

(4)

与えられた方程式を解きます。

$ax^2 - (2a-1)x - 2 = 0$

因数分解を試みます。

$(ax + 1)(x - 2) = 0$

$ax^2 - 2ax + x - 2 = ax^2 - (2a-1)x - 2$ なので、因数分解は正しいです。

よって、$ax + 1 = 0$ または $x - 2 = 0$。

$x = -\frac{1}{a}$ または $x = 2$。

3. 最終的な答え

(1) $x = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$

(2) $x = \frac{7}{2}, -1$

(3) $x = \frac{-\sqrt{7} \pm \sqrt{15}}{2}$

(4) $x = -\frac{1}{a}, 2$