$\sqrt{2}$ の小数部分を $x$, $\sqrt{3}$ の小数部分を $y$ とするとき、$x^2 - 2xy + y^2$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$ の小数部分を $x$, $\sqrt{3}$ の小数部分を $y$ とするとき、$x^2 - 2xy + y^2$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{2}$ と $\sqrt{3}$ の整数部分を求めます。

$1 < \sqrt{2} < 2$ であるから、$\sqrt{2}$ の整数部分は 1 です。したがって、$\sqrt{2} = 1 + x$ と表され、$x = \sqrt{2} - 1$ となります。

同様に、$1 < \sqrt{3} < 2$ であるから、$\sqrt{3}$ の整数部分は 1 です。したがって、$\sqrt{3} = 1 + y$ と表され、$y = \sqrt{3} - 1$ となります。

次に、$x^2 - 2xy + y^2$ を因数分解します。

$x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$

$x$ と $y$ の値を代入します。

$x - y = (\sqrt{2} - 1) - (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{2} - \sqrt{3}$

したがって、

$(x-y)^2 = (\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 - 2\sqrt{6} + 3 = 5 - 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$5 - 2\sqrt{6}$