「任意の実数 $a, b$ に対して常に $a^2 + b^2 > c$ が成り立つ」は、$c \le 0$ であるための何条件か答える問題です。

1. 問題の内容

「任意の実数 $a, b$ に対して常に $a^2 + b^2 > c$ が成り立つ」は、$c \le 0$ であるための何条件か答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a^2 + b^2 > c$ が常に成り立つための条件を考えます。$a$ と $b$ は任意の実数なので、$a = 0$ かつ $b = 0$ のとき、$a^2 + b^2$ は最小値 $0$ を取ります。したがって、$a^2 + b^2 > c$ が常に成り立つためには、$0 > c$、すなわち $c < 0$ である必要があります。

次に、$c \le 0$ であることが、$a^2 + b^2 > c$ が常に成り立つための条件として十分かどうかを検討します。

もし $c < 0$ であれば、常に $a^2 + b^2 \ge 0 > c$ なので、$a^2 + b^2 > c$ は成り立ちます。

もし $c = 0$ であれば、$a$ と $b$ が同時に $0$ でない限り、$a^2 + b^2 > 0 = c$ が成り立ちますが、$a = 0$ かつ $b = 0$ のとき、$a^2 + b^2 = 0$ となり、$a^2 + b^2 > c$ は成り立ちません。

したがって、$a^2 + b^2 > c$ が常に成り立つためには、$c < 0$ が必要十分条件です。

一方、与えられた条件は $c \le 0$ です。これは $c < 0$ または $c = 0$ を意味します。

$c < 0$ のとき、$a^2 + b^2 > c$ は成り立ちますが、$c = 0$ のとき、$a = b = 0$ ならば $a^2 + b^2 > c$ は成り立ちません。

したがって、$c \le 0$ は、$a^2 + b^2 > c$ が常に成り立つための十分条件ではありません。

$a^2 + b^2 > c$ が常に成り立つならば、$c < 0$ であり、$c \le 0$ は成り立ちます。

したがって、$a^2 + b^2 > c$ が常に成り立つことは、$c \le 0$ であるための十分条件です。

$c \le 0$ のとき、$a^2 + b^2 > c$ が常に成り立つとは限らないので、$c \le 0$ は、$a^2 + b^2 > c$ が常に成り立つための必要条件ではありません。

以上より、「任意の実数 $a, b$ に対して常に $a^2 + b^2 > c$ が成り立つ」は、$c \le 0$ であるための十分条件であるといえます。

3. 最終的な答え

十分条件