(1) $a+b$と$ab$が共に自然数ならば、$a$と$b$も共に自然数であるか。 (2) $x \neq 2$ならば、$x^2+x-6 \neq 0$であるか。

1. 問題の内容

(1) $a+b$と$ab$が共に自然数ならば、$a$と$b$も共に自然数であるか。

(2) $x \neq 2$ならば、$x^2+x-6 \neq 0$であるか。

2. 解き方の手順

(1)

$a+b$と$ab$が自然数であるという条件から、$a$と$b$が自然数であるかどうかを考えます。

反例を考えてみます。例えば、$a = \frac{1}{2}$，$b = \frac{3}{2}$とすると、$a+b = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$となり自然数です。

また、$ab = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$となり自然数ではありません。

$a = 1+\sqrt{2}$, $b = 1-\sqrt{2}$とすると、$a+b = 2$ で自然数であり、$ab= (1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1-2=-1$ で自然数ではない。

$a+b$と$ab$が自然数となるように$a$と$b$の値を設定してみます。

$a+b = 5$, $ab=6$とすると、$a$と$b$は$t^2-5t+6=0$の解となります。

$(t-2)(t-3)=0$より、$t=2, 3$。したがって、$a=2, b=3$または、$a=3, b=2$となり、$a,b$はともに自然数です。

もし、$a$と$b$が自然数でない場合、$a+b$と$ab$が共に自然数になることはありえるか。

反例：$a=2+\sqrt{2}$、$b=2-\sqrt{2}$とすると、$a+b = 4$で自然数、$ab = 4-2 = 2$で自然数。

しかし、$a$も$b$も自然数ではありません。

したがって、$a+b$と$ab$が共に自然数でも、$a$と$b$が共に自然数であるとは限りません。

(2)

$x \neq 2$ならば、$x^2+x-6 \neq 0$であるかを考えます。

$x^2+x-6 = (x+3)(x-2)$と因数分解できます。

$x^2+x-6 = 0$となるのは、$x=-3$または$x=2$のときです。

$x \neq 2$のとき、$x=-3$であれば、$x^2+x-6 = 0$となります。

つまり、$x \neq 2$であっても、$x^2+x-6 = 0$となる場合が存在します。

例えば、$x=-3$のとき、$x \neq 2$ですが、$x^2+x-6 = (-3)^2 + (-3) - 6 = 9-3-6 = 0$となります。

したがって、$x \neq 2$ならば、$x^2+x-6 \neq 0$であるとは限りません。

3. 最終的な答え

(1) 偽

(2) 偽