与えられた数式の値を求める問題です。数式は以下の通りです。 $1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k - 2)$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を求める問題です。数式は以下の通りです。

$1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k - 2)$

2. 解き方の手順

まず、シグマの中身を展開します。

$\sum_{k=1}^{n-1} (3k - 2) = \sum_{k=1}^{n-1} 3k - \sum_{k=1}^{n-1} 2$

シグマの公式 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ と $\sum_{k=1}^{n} c = nc$ を使います。今回のシグマの上端は $n-1$ なので、それぞれの $n$ を $n-1$ に置き換えます。

$\sum_{k=1}^{n-1} 3k = 3\sum_{k=1}^{n-1} k = 3\frac{(n-1)((n-1)+1)}{2} = 3\frac{(n-1)n}{2} = \frac{3n(n-1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} 2 = 2(n-1)$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n-1} (3k - 2) = \frac{3n(n-1)}{2} - 2(n-1)$

$= \frac{3n^2 - 3n}{2} - 2n + 2 = \frac{3n^2 - 3n - 4n + 4}{2} = \frac{3n^2 - 7n + 4}{2}$

元の式に代入すると、

$1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k - 2) = 1 + \frac{3n^2 - 7n + 4}{2} = \frac{2 + 3n^2 - 7n + 4}{2} = \frac{3n^2 - 7n + 6}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3n^2 - 7n + 6}{2}$