与えられた式 $ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{6}} $ の分母を有理化する方法を考える。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{6}}$ の分母を有理化する方法を考える。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、まずは分母を2つのグループに分けて考える。

$(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + (\sqrt{5} + \sqrt{6})$

次に、それぞれのグループに共役な複素数を掛ける。

まず、$(\sqrt{2} + \sqrt{3})$の共役複素数は $(\sqrt{2} - \sqrt{3})$である。同様に、$(\sqrt{5} + \sqrt{6})$の共役複素数は $(\sqrt{5} - \sqrt{6})$である。

これらを使うと、

$((\sqrt{2} + \sqrt{3}) + (\sqrt{5} + \sqrt{6}))((\sqrt{2} + \sqrt{3}) - (\sqrt{5} + \sqrt{6})) = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5} + \sqrt{6})^2$

$= (2 + 2\sqrt{6} + 3) - (5 + 2\sqrt{30} + 6) = (5 + 2\sqrt{6}) - (11 + 2\sqrt{30}) = -6 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{30}$

次に、$-6 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{30}$ の共役複素数は $-6 - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{30}$ である。

したがって、

$(-6 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{30})(-6 - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{30}) = (-6 + 2(\sqrt{6} - \sqrt{30}))(-6 - 2(\sqrt{6} - \sqrt{30})) = 36 - 4(\sqrt{6} - \sqrt{30})^2$

$= 36 - 4(6 - 2\sqrt{180} + 30) = 36 - 4(36 - 2\sqrt{36 * 5}) = 36 - 4(36 - 12\sqrt{5}) = 36 - 144 + 48\sqrt{5} = -108 + 48\sqrt{5}$

与式に$(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - (\sqrt{5} + \sqrt{6})$と$(-6 - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{30})$を掛けると、分母は $-108 + 48\sqrt{5}$となる。分子にも同じものを掛け合わせると、分母の有理化ができる。

さらに分母を簡単化するために $-108 + 48\sqrt{5} = 12(-9 + 4\sqrt{5})$ となる。分母を有理化するには$12(-9 + 4\sqrt{5})$に$(-9 - 4\sqrt{5})$を掛ける。

$(-9 + 4\sqrt{5})(-9 - 4\sqrt{5}) = 81 - 16 * 5 = 81 - 80 = 1$

したがって、$12(-9 + 4\sqrt{5})$に$(-9 - 4\sqrt{5})$を掛けると、$12$となる。

分子と分母に $(\sqrt{2}+\sqrt{3})-(\sqrt{5}+\sqrt{6})$ を掛けると,

$\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-(\sqrt{5}+\sqrt{6})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5}+\sqrt{6})^2} = \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-(\sqrt{5}+\sqrt{6})}{5+2\sqrt{6} - (11+2\sqrt{30})} = \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-(\sqrt{5}+\sqrt{6})}{-6+2\sqrt{6}-2\sqrt{30}}$

さらに,分子と分母に $-6-2\sqrt{6}+2\sqrt{30}$ を掛けると,

$\frac{((\sqrt{2}+\sqrt{3})-(\sqrt{5}+\sqrt{6}))(-6-2\sqrt{6}+2\sqrt{30})}{36 - 4(6-2\sqrt{180}+30)} = \frac{((\sqrt{2}+\sqrt{3})-(\sqrt{5}+\sqrt{6}))(-6-2\sqrt{6}+2\sqrt{30})}{-108+48\sqrt{5}}$

さらに,分子と分母に $-108-48\sqrt{5}$ を掛けると,

$\frac{((\sqrt{2}+\sqrt{3})-(\sqrt{5}+\sqrt{6}))(-6-2\sqrt{6}+2\sqrt{30})(-108-48\sqrt{5})}{(-108+48\sqrt{5})(-108-48\sqrt{5})} = \frac{((\sqrt{2}+\sqrt{3})-(\sqrt{5}+\sqrt{6}))(-6-2\sqrt{6}+2\sqrt{30})(-108-48\sqrt{5})}{11664-11520}$

$\frac{((\sqrt{2}+\sqrt{3})-(\sqrt{5}+\sqrt{6}))(-6-2\sqrt{6}+2\sqrt{30})(-108-48\sqrt{5})}{144}$

別の考え方

分母を $a + b$ の形にする。$a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$, $b = \sqrt{3} + \sqrt{5}$ とすると,

$a^2 = 2 + 2\sqrt{12} + 6 = 8 + 4\sqrt{3}$,

$b^2 = 3 + 2\sqrt{15} + 5 = 8 + 2\sqrt{15}$.

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 = 8 + 4\sqrt{3} - (8 + 2\sqrt{15}) = 4\sqrt{3} - 2\sqrt{15}$

$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6} - (\sqrt{3}+\sqrt{5})}{4\sqrt{3}-2\sqrt{15}}$

$\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{6} - (\sqrt{3}+\sqrt{5}))(4\sqrt{3}+2\sqrt{15})}{48 - 60} = \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{6} - (\sqrt{3}+\sqrt{5}))(4\sqrt{3}+2\sqrt{15})}{-12}$

$\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{6} - (\sqrt{3}+\sqrt{5}))(2\sqrt{3}+\sqrt{15})}{-6}$

$2\sqrt{6} + \sqrt{30} + 6\sqrt{2} + 3\sqrt{10} - 6 - 3\sqrt{5} - 5\sqrt{3} - 5\sqrt{3}$

$2\sqrt{6} + \sqrt{30} + 6\sqrt{2} + 3\sqrt{10} - 6 - 3\sqrt{5} - 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-(\sqrt{5}+\sqrt{6})}{-6+2\sqrt{6}-2\sqrt{30}}$

$\frac{((\sqrt{2}+\sqrt{3})-(\sqrt{5}+\sqrt{6}))(-6-2\sqrt{6}+2\sqrt{30})}{-108+48\sqrt{5}}$

$\frac{((\sqrt{2}+\sqrt{3})-(\sqrt{5}+\sqrt{6}))(-6-2\sqrt{6}+2\sqrt{30})(-108-48\sqrt{5})}{144}$

$\frac{2\sqrt{6} + \sqrt{30} + 6\sqrt{2} + 3\sqrt{10} - 6 - 3\sqrt{5} -2\sqrt{3}}{-6}$

有理化された分母を持つ形式の最終的な答えを得ることができませんでした。