与えられた2次方程式(1) $2(x-1)^2 = 4(x-1) + 3$ と (3) $\sqrt{2}x^2 + \sqrt{14}x - \sqrt{8} = 0$を解く。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式(1) $2(x-1)^2 = 4(x-1) + 3$ と (3) $\sqrt{2}x^2 + \sqrt{14}x - \sqrt{8} = 0$を解く。

2. 解き方の手順

(1) $2(x-1)^2 = 4(x-1) + 3$ を解く。

まず、式を展開し、整理する。

$2(x^2 - 2x + 1) = 4x - 4 + 3$

$2x^2 - 4x + 2 = 4x - 1$

$2x^2 - 8x + 3 = 0$

次に、解の公式を使って解を求める。

解の公式: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この場合、$a = 2$, $b = -8$, $c = 3$ なので、

$x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(2)(3)}}{2(2)}$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{4}$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{4}$

$x = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{10}}{2}$

(3) $\sqrt{2}x^2 + \sqrt{14}x - \sqrt{8} = 0$ を解く。

まず、係数を簡単にします。$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ なので、

$\sqrt{2}x^2 + \sqrt{14}x - 2\sqrt{2} = 0$

$\sqrt{2}$ で割ると、

$x^2 + \sqrt{7} \sqrt{2}x - 2 = 0$

解の公式を使って解を求める。

$x = \frac{-\sqrt{14} \pm \sqrt{(\sqrt{14})^2 - 4(\sqrt{2})(-2\sqrt{2})}}{2\sqrt{2}}$

$a=1, b=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}}, c = -\sqrt{8}/\sqrt{2}$

解の公式: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-\sqrt{14} \pm \sqrt{(\sqrt{14})^2 - 4(\sqrt{2})(-2\sqrt{2})}}{2(\sqrt{2})}$

$x = \frac{-\sqrt{14} \pm \sqrt{14 + 16}}{2\sqrt{2}}$

$x = \frac{-\sqrt{14} \pm \sqrt{30}}{2\sqrt{2}}$

もしくは最初の式で解の公式:

$x = \frac{-\sqrt{14} \pm \sqrt{14 - 4(\sqrt{2})(-\sqrt{8})}}{2\sqrt{2}}$

$x = \frac{-\sqrt{14} \pm \sqrt{14 + 8 \times 2}}{2\sqrt{2}}$

$x = \frac{-\sqrt{14} \pm \sqrt{30}}{2\sqrt{2}}$

分子分母に$\sqrt{2}$をかけて

$x = \frac{-\sqrt{28} \pm \sqrt{60}}{4}$

$x = \frac{-2\sqrt{7} \pm 2\sqrt{15}}{4}$

$x = \frac{-\sqrt{7} \pm \sqrt{15}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{4 + \sqrt{10}}{2}$, $x = \frac{4 - \sqrt{10}}{2}$

(3) $x = \frac{-\sqrt{7} + \sqrt{15}}{2}$, $x = \frac{-\sqrt{7} - \sqrt{15}}{2}$