2次関数 $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2ax - a^2 + 4a$ が与えられています。 (1) この関数のグラフの軸の方程式を求めます。 (2) $0 \leq x \leq 1$ における最小値を $m(a)$ とするとき、$m(a)$ を求め、その最大値と、そのときの $a$ の値を求めます。 (3) $0 \leq x \leq 1$ における最大値を $M(a)$ とするとき、$M(a)$ を求め、$M(a) = 2$ となる $a$ の値を求めます。

はい、承知いたしました。与えられた2次関数の問題について、以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2ax - a^2 + 4a$ が与えられています。

(1) この関数のグラフの軸の方程式を求めます。

(2) $0 \leq x \leq 1$ における最小値を $m(a)$ とするとき、$m(a)$ を求め、その最大値と、そのときの $a$ の値を求めます。

(3) $0 \leq x \leq 1$ における最大値を $M(a)$ とするとき、$M(a)$ を求め、$M(a) = 2$ となる $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 軸の方程式を求める

与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2ax - a^2 + 4a$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 4ax) - a^2 + 4a$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 4ax + 4a^2 - 4a^2) - a^2 + 4a$

$y = -\frac{1}{2}(x - 2a)^2 + 2a^2 - a^2 + 4a$

$y = -\frac{1}{2}(x - 2a)^2 + a^2 + 4a$

よって、軸の方程式は $x = 2a$ となります。

(2) $m(a)$ を求める

$0 \leq x \leq 1$ における最小値 $m(a)$ を求めます。軸 $x = 2a$ の位置によって場合分けが必要です。

(i) $2a < 0$ (つまり $a < 0$) のとき:

$x=0$ で最小となるので、

$m(a) = -\frac{1}{2}(0)^2 + 2a(0) - a^2 + 4a = -a^2 + 4a$

(ii) $0 \leq 2a \leq 1$ (つまり $0 \leq a \leq \frac{1}{2}$) のとき:

$x=1$ で最小となるので、

$m(a) = -\frac{1}{2}(1)^2 + 2a(1) - a^2 + 4a = -a^2 + 6a - \frac{1}{2}$

(iii) $2a > 1$ (つまり $a > \frac{1}{2}$) のとき:

$x=1$ で最小となるので、

$m(a) = -\frac{1}{2}(1)^2 + 2a(1) - a^2 + 4a = -a^2 + 6a - \frac{1}{2}$

まとめると、

$m(a) = \begin{cases} -a^2 + 4a & (a < 0) \\ -a^2 + 6a - \frac{1}{2} & (a \geq 0) \end{cases}$

$m(a)$ の最大値を求めます。

(i) $a < 0$ のとき、$m(a) = -a^2 + 4a = -(a-2)^2 + 4$. しかし、$a < 0$ の範囲では最大値は存在しません。$a$が0に近づくほど$m(a)$は大きくなります。

(ii) $a \geq 0$ のとき、$m(a) = -a^2 + 6a - \frac{1}{2} = -(a-3)^2 + 9 - \frac{1}{2} = -(a-3)^2 + \frac{17}{2}$

軸は $a = 3$ です。

$0 \leq a \leq \frac{1}{2}$ を満たすとき、$m(a)$ は $a = \frac{1}{2}$ で最大となります。

$m(\frac{1}{2}) = -(\frac{1}{2})^2 + 6(\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} + 3 - \frac{1}{2} = \frac{12-1-2}{4} = \frac{9}{4}$

したがって、$m(a)$ の最大値は $\frac{9}{4}$ で、そのときの $a$ の値は $\frac{1}{2}$ です。

(3) $M(a)$ を求める

$0 \leq x \leq 1$ における最大値 $M(a)$ を求めます。軸 $x = 2a$ の位置によって場合分けが必要です。

(i) $2a \leq \frac{1}{2}$ (つまり $a \leq \frac{1}{4}$) のとき:

$x=1$ で最大となるので、

$M(a) = -\frac{1}{2}(1)^2 + 2a(1) - a^2 + 4a = -a^2 + 6a - \frac{1}{2}$

(ii) $\frac{1}{2} < 2a < \frac{3}{2}$ (つまり $\frac{1}{4} < a < \frac{3}{4}$) のとき:

$x = 2a$ で最大となるので、

$M(a) = a^2 + 4a$

(iii) $2a \geq \frac{3}{2}$ (つまり $a \geq \frac{3}{4}$) のとき:

$x=0$ で最大となるので、

$M(a) = -\frac{1}{2}(0)^2 + 2a(0) - a^2 + 4a = -a^2 + 4a$

まとめると、

$M(a) = \begin{cases} -a^2 + 6a - \frac{1}{2} & (a \leq \frac{1}{4}) \\ a^2 + 4a & (\frac{1}{4} < a < \frac{3}{4}) \\ -a^2 + 4a & (a \geq \frac{3}{4}) \end{cases}$

$M(a) = 2$ となる $a$ の値を求めます。

(i) $a \leq \frac{1}{4}$ のとき:

$-a^2 + 6a - \frac{1}{2} = 2$

$-a^2 + 6a - \frac{5}{2} = 0$

$2a^2 - 12a + 5 = 0$

$a = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 40}}{4} = \frac{12 \pm \sqrt{104}}{4} = \frac{12 \pm 2\sqrt{26}}{4} = 3 \pm \frac{\sqrt{26}}{2}$

$a = 3 - \frac{\sqrt{26}}{2}$ が $a \leq \frac{1}{4}$ を満たす。

(ii) $\frac{1}{4} < a < \frac{3}{4}$ のとき:

$a^2 + 4a = 2$

$a^2 + 4a - 2 = 0$

$a = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}$

$a = -2 + \sqrt{6}$ が $\frac{1}{4} < a < \frac{3}{4}$ を満たす。

(iii) $a \geq \frac{3}{4}$ のとき:

$-a^2 + 4a = 2$

$-a^2 + 4a - 2 = 0$

$a^2 - 4a + 2 = 0$

$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

$a = 2 + \sqrt{2}$ および $a = 2 - \sqrt{2}$ が $a \geq \frac{3}{4}$ を満たす。

3. 最終的な答え

(1) 軸の方程式： $x = 2a$

(2) $m(a) = \begin{cases} -a^2 + 4a & (a < 0) \\ -a^2 + 6a - \frac{1}{2} & (a \geq 0) \end{cases}$、最大値: $\frac{9}{4}$、そのときの $a$: $\frac{1}{2}$

(3) $M(a) = \begin{cases} -a^2 + 6a - \frac{1}{2} & (a \leq \frac{1}{4}) \\ a^2 + 4a & (\frac{1}{4} < a < \frac{3}{4}) \\ -a^2 + 4a & (a \geq \frac{3}{4}) \end{cases}$、$M(a) = 2$ となる $a$: $3 - \frac{\sqrt{26}}{2}, -2 + \sqrt{6}, 2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}$