与えられた分数 $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ の分母を有理化する。

1. 問題の内容

与えられた分数 $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ の分母を有理化する。

2. 解き方の手順

分母を有理化するには、分母の共役な複素数（この場合は $\sqrt{7} - \sqrt{5}$）を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$

分子を計算します。

$(\sqrt{7} - \sqrt{5})^2 = (\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 7 - 2\sqrt{35} + 5 = 12 - 2\sqrt{35}$

分母を計算します。

$(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2$

したがって、

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{12 - 2\sqrt{35}}{2} = \frac{2(6 - \sqrt{35})}{2} = 6 - \sqrt{35}$

3. 最終的な答え

$6 - \sqrt{35}$