与えられた分数 $\frac{1}{4+\sqrt{2}}$ の分母を有理化してください。

1. 問題の内容

与えられた分数 $\frac{1}{4+\sqrt{2}}$ の分母を有理化してください。

2. 解き方の手順

分母を有理化するためには、分母の共役複素数である $4-\sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

まず、与えられた分数に $\frac{4-\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{4+\sqrt{2}} \times \frac{4-\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$

次に、分母を計算します。 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の公式を利用します。

$(4+\sqrt{2})(4-\sqrt{2}) = 4^2 - (\sqrt{2})^2 = 16 - 2 = 14$

分子は $1 \times (4-\sqrt{2}) = 4-\sqrt{2}$ となります。

したがって、有理化された分数は $\frac{4-\sqrt{2}}{14}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{4-\sqrt{2}}{14}$