$x = \frac{2}{\sqrt{8}+2}$、 $y = \frac{\sqrt{8}+2}{4}$のとき、$x+2y$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{2}{\sqrt{8}+2}$、 $y = \frac{\sqrt{8}+2}{4}$のとき、$x+2y$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$を計算します。$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$なので、

$x = \frac{2}{2\sqrt{2}+2} = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$

分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{2}-1$をかけます。

$x = \frac{1}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1$

次に、$y$を計算します。$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$なので、

$y = \frac{2\sqrt{2}+2}{4} = \frac{\sqrt{2}+1}{2}$

$x+2y$を計算します。

$x+2y = (\sqrt{2}-1) + 2\left(\frac{\sqrt{2}+1}{2}\right) = \sqrt{2}-1 + \sqrt{2}+1 = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2}$