与えられた数式の値を計算します。数式は $\frac{5}{3} \sqrt[6]{9} + \sqrt[3]{-81} + \sqrt[3]{\frac{1}{9}}$ です。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は

$\frac{5}{3} \sqrt[6]{9} + \sqrt[3]{-81} + \sqrt[3]{\frac{1}{9}}$

です。

2. 解き方の手順

まず、各項を簡単にします。

$\sqrt[6]{9}$ は $9^{\frac{1}{6}}$ と書けます。$9 = 3^2$ なので、$9^{\frac{1}{6}} = (3^2)^{\frac{1}{6}} = 3^{\frac{2}{6}} = 3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3}$ です。

よって、$\frac{5}{3}\sqrt[6]{9} = \frac{5}{3}\sqrt[3]{3}$ です。

$\sqrt[3]{-81}$ は $\sqrt[3]{-1 \times 27 \times 3} = \sqrt[3]{-1} \times \sqrt[3]{27} \times \sqrt[3]{3} = -1 \times 3 \times \sqrt[3]{3} = -3\sqrt[3]{3}$ です。

$\sqrt[3]{\frac{1}{9}}$ は $\sqrt[3]{\frac{1}{3^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3^2}} = \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}} \times \frac{3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3}}} = \frac{3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}} = \frac{3^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$ です。

したがって、元の式は

$\frac{5}{3} \sqrt[3]{3} - 3\sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

となります。

$\sqrt[3]{3}$ でくくると

$(\frac{5}{3} - 3 + \frac{1}{3})\sqrt[3]{3} = (\frac{6}{3} - 3)\sqrt[3]{3} = (2-3)\sqrt[3]{3} = -\sqrt[3]{3}$

となります。

3. 最終的な答え

$-\sqrt[3]{3}$