与えられた条件を満たす2次関数のグラフの方程式を求める問題です。問題は3つあります。 (1) 軸が $x = -2$ で、2点 $(-1, -2)$, $(2, -47)$ を通る。 (2) $x$軸に接し、2点 $(1, 1)$, $(4, 4)$ を通る。 (3) 3点 $(-1, -3)$, $(1, 5)$, $(2, 3)$ を通る。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数のグラフの方程式を求める問題です。問題は3つあります。

(1) 軸が $x = -2$ で、2点 $(-1, -2)$, $(2, -47)$ を通る。

(2) $x$軸に接し、2点 $(1, 1)$, $(4, 4)$ を通る。

(3) 3点 $(-1, -3)$, $(1, 5)$, $(2, 3)$ を通る。

2. 解き方の手順

(1) 軸が $x = -2$ であることから、求める2次関数は $y = a(x + 2)^2 + q$ と表すことができます。

この式に2点の座標を代入して、連立方程式を解きます。

点 $(-1, -2)$ を代入すると、$-2 = a(-1 + 2)^2 + q$ より、

$-2 = a + q$ が得られます。

点 $(2, -47)$ を代入すると、$-47 = a(2 + 2)^2 + q$ より、

$-47 = 16a + q$ が得られます。

この2つの式から $a$ と $q$ を求めます。

$16a + q = -47$ から $a + q = -2$ を引くと、

$15a = -45$ となり、$a = -3$ が得られます。

$a = -3$ を $a + q = -2$ に代入すると、$-3 + q = -2$ より、$q = 1$ が得られます。

したがって、求める2次関数は $y = -3(x + 2)^2 + 1$ です。展開すると、$y = -3(x^2 + 4x + 4) + 1 = -3x^2 - 12x - 12 + 1 = -3x^2 - 12x - 11$ となります。

(2) $x$軸に接するので、2次関数は $y = a(x - p)^2$ と表すことができます。

この式に2点の座標を代入して、連立方程式を解きます。

点 $(1, 1)$ を代入すると、$1 = a(1 - p)^2$ が得られます。

点 $(4, 4)$ を代入すると、$4 = a(4 - p)^2$ が得られます。

$a \neq 0$ より、$a = \frac{1}{(1-p)^2}$ および $a = \frac{4}{(4-p)^2}$ です。

したがって、$\frac{1}{(1-p)^2} = \frac{4}{(4-p)^2}$ が成り立ちます。

$(4-p)^2 = 4(1-p)^2$ となり、$16 - 8p + p^2 = 4(1 - 2p + p^2) = 4 - 8p + 4p^2$ となります。

したがって、$3p^2 = 12$ となり、$p^2 = 4$、$p = \pm 2$ となります。

$p = 2$ のとき、$a = \frac{1}{(1-2)^2} = \frac{1}{1} = 1$ となります。したがって、$y = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$。

$p = -2$ のとき、$a = \frac{1}{(1 - (-2))^2} = \frac{1}{9}$ となります。したがって、$y = \frac{1}{9}(x + 2)^2 = \frac{1}{9}(x^2 + 4x + 4) = \frac{1}{9}x^2 + \frac{4}{9}x + \frac{4}{9}$。

点 $(1,1)$ を通ることを確認すると、$p=2$ のとき $1^2-4*1+4=1$ となり、条件を満たします。 $p=-2$ のとき $\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9} = 1$ となり、条件を満たします。

点 $(4,4)$ を通ることを確認すると、$p=2$ のとき $4^2-4*4+4=4$ となり、条件を満たします。 $p=-2$ のとき $\frac{16}{9}+\frac{16}{9}+\frac{4}{9} = 4$ となり、条件を満たします。

(3) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とします。

3点の座標を代入して、連立方程式を解きます。

点 $(-1, -3)$ を代入すると、$-3 = a(-1)^2 + b(-1) + c$ より、

$a - b + c = -3$ が得られます。

点 $(1, 5)$ を代入すると、$5 = a(1)^2 + b(1) + c$ より、

$a + b + c = 5$ が得られます。

点 $(2, 3)$ を代入すると、$3 = a(2)^2 + b(2) + c$ より、

$4a + 2b + c = 3$ が得られます。

3つの式から $a$, $b$, $c$ を求めます。

$a + b + c = 5$ から $a - b + c = -3$ を引くと、$2b = 8$ となり、$b = 4$ が得られます。

したがって、$a + 4 + c = 5$ より、$a + c = 1$ が得られます。

また、$4a + 2(4) + c = 3$ より、$4a + c = -5$ が得られます。

$4a + c = -5$ から $a + c = 1$ を引くと、$3a = -6$ となり、$a = -2$ が得られます。

$a = -2$ を $a + c = 1$ に代入すると、$-2 + c = 1$ より、$c = 3$ が得られます。

したがって、求める2次関数は $y = -2x^2 + 4x + 3$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y = -3x^2 - 12x - 11$

(2) $y = (x-2)^2$ or $y = \frac{1}{9}x^2 + \frac{4}{9}x + \frac{4}{9}$

(3) $y = -2x^2 + 4x + 3$