問1：実数 $x$、$y$ に対して、不等式 $|x| + |y| \ge |x + y|$ が成り立つことを示し、等号が成り立つ条件を求める。 問2：$n$ を2以上の自然数とする。$n$ 個の実数 $x_1, x_2, \dots, x_n$ に対して、不等式 $|x_1| + |x_2| + \dots + |x_n| \ge |x_1 + x_2 + \dots + x_n|$ が成り立つことを、数学的帰納法を用いて示す。なお、等号が成り立つ条件は答えなくてよい。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問1：実数 $x$、$y$ に対して、不等式 $|x| + |y| \ge |x + y|$ が成り立つことを示し、等号が成り立つ条件を求める。

問2：$n$ を2以上の自然数とする。$n$ 個の実数 $x_1, x_2, \dots, x_n$ に対して、不等式 $|x_1| + |x_2| + \dots + |x_n| \ge |x_1 + x_2 + \dots + x_n|$ が成り立つことを、数学的帰納法を用いて示す。なお、等号が成り立つ条件は答えなくてよい。

2. 解き方の手順

問1：

不等式 $|x| + |y| \ge |x + y|$ を示す。これは三角不等式として知られています。

両辺が非負なので、両辺を2乗して比較します。

$(|x| + |y|)^2 = |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2 = x^2 + 2|xy| + y^2$

$|x + y|^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

したがって、$x^2 + 2|xy| + y^2 \ge x^2 + 2xy + y^2$ を示すことになります。

これは $2|xy| \ge 2xy$ と同値であり、$|xy| \ge xy$ となります。

$|xy| \ge xy$ は常に成立します。なぜならば、$xy \ge 0$ のとき $|xy| = xy$ であり、$xy < 0$ のとき $|xy| = -xy > xy$ となるからです。

したがって、$|x| + |y| \ge |x + y|$ が成り立ちます。

次に、等号が成り立つ条件を求めます。

等号が成り立つのは、$|xy| = xy$ のときです。これは、$xy \ge 0$ と同値です。

問2：

数学的帰納法を用いて、不等式 $|x_1| + |x_2| + \dots + |x_n| \ge |x_1 + x_2 + \dots + x_n|$ を示す。

(i) $n = 2$ のとき：これは問1で示されている $|x_1| + |x_2| \ge |x_1 + x_2|$ と同じです。

(ii) $n = k$ で不等式が成り立つと仮定する。すなわち、

$|x_1| + |x_2| + \dots + |x_k| \ge |x_1 + x_2 + \dots + x_k|$ が成り立つと仮定します。

(iii) $n = k + 1$ のとき：

$|x_1| + |x_2| + \dots + |x_k| + |x_{k+1}| \ge |x_1 + x_2 + \dots + x_k| + |x_{k+1}|$ (帰納法の仮定)

ここで、問1の結果を用いると、$|x_1 + x_2 + \dots + x_k| + |x_{k+1}| \ge |(x_1 + x_2 + \dots + x_k) + x_{k+1}| = |x_1 + x_2 + \dots + x_k + x_{k+1}|$

したがって、$|x_1| + |x_2| + \dots + |x_k| + |x_{k+1}| \ge |x_1 + x_2 + \dots + x_k + x_{k+1}|$

これにより、$n = k + 1$ のときも不等式が成り立つことが示されました。

(i), (ii), (iii) より、数学的帰納法によって、すべての2以上の自然数 $n$ に対して不等式が成り立つことが示されました。

3. 最終的な答え

問1：

不等式 $|x| + |y| \ge |x + y|$ が成り立つ。

等号が成り立つ条件は $xy \ge 0$ である。

問2：

$n$ を2以上の自然数とするとき、不等式 $|x_1| + |x_2| + \dots + |x_n| \ge |x_1 + x_2 + \dots + x_n|$ が成り立つ。