問題は、対数に関する計算問題です。具体的には、$\log_{10}2 = a$、$\log_{10}3 = b$としたときに、与えられた対数の値を$a, b$で表したり、$36^{20}$の桁数、$9^{10}$の最高位の数字を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、対数に関する計算問題です。具体的には、$\log_{10}2 = a$、$\log_{10}3 = b$としたときに、与えられた対数の値を$a, b$で表したり、$36^{20}$の桁数、$9^{10}$の最高位の数字を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

- $\log_{10}72$を$a, b$で表す。$72 = 2^3 \cdot 3^2$なので、$\log_{10}72 = \log_{10}(2^3 \cdot 3^2) = 3\log_{10}2 + 2\log_{10}3 = 3a + 2b$

- $\log_{10}\frac{45}{8}$を$a, b$で表す。$\frac{45}{8} = \frac{3^2 \cdot 5}{2^3} = \frac{3^2 \cdot \frac{10}{2}}{2^3} = \frac{3^2 \cdot 10}{2^4}$なので、$\log_{10}\frac{45}{8} = \log_{10}(3^2 \cdot 5) - \log_{10}(2^3) = 2\log_{10}3 + \log_{10}5 - 3\log_{10}2 = 2\log_{10}3 + \log_{10}\frac{10}{2} - 3\log_{10}2 = 2b + (1-a) - 3a = -4a + 2b + 1$

- $\log_4\frac{\sqrt{18}}{5}$を$a, b$で表す。$\frac{\sqrt{18}}{5} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3^2}}{5} = \frac{3\sqrt{2}}{5}$なので、$\log_4\frac{\sqrt{18}}{5} = \frac{\log_{10}\frac{3\sqrt{2}}{5}}{\log_{10}4} = \frac{\log_{10}(3\sqrt{2}) - \log_{10}5}{2\log_{10}2} = \frac{\log_{10}3 + \frac{1}{2}\log_{10}2 - (1-a)}{2a} = \frac{b + \frac{1}{2}a - 1 + a}{2a} = \frac{\frac{3}{2}a + b - 1}{2a} = \frac{3a + 2b - 2}{4a}$

(2)

- $\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$

- (i) $36^{20}$の桁数を求める。$\log_{10}36^{20} = 20\log_{10}36 = 20\log_{10}(2^2 \cdot 3^2) = 20(2\log_{10}2 + 2\log_{10}3) = 40(\log_{10}2 + \log_{10}3) = 40(0.3010 + 0.4771) = 40(0.7781) = 31.124$

小数第2位を四捨五入すると、$\log_{10}36^{20} \approx 31.1$

したがって、$36^{20}$は$31 + 1 = 32$桁である。

- (ii) $9^{10}$の最高位の数字を求める。$\log_{10}9^{10} = 10\log_{10}9 = 10\log_{10}3^2 = 20\log_{10}3 = 20(0.4771) = 9.542$

小数第3位を四捨五入すると、$\log_{10}9^{10} \approx 9.54$

$9^{10} = 10^{9.54} = 10^9 \times 10^{0.54}$であるから

$n < 10^{0.54} < n+1$

$\log_{10}3 = 0.4771$, $\log_{10}4 = 2\log_{10}2 = 0.6020$

$0.4771 < 0.54 < 0.6020$

$3 < 10^{0.54} < 4$

したがって、$n=3$である。

よって、$9^{10}$の最高位の数字は$3$である。

3. 最終的な答え

(1)

- $\log_{10}72 = 3a + 2b$

- $\log_{10}\frac{45}{8} = -4a + 2b + 1$

- $\log_4\frac{\sqrt{18}}{5} = \frac{3a+2b-2}{4a}$

(2)

(i) $\log_{10}36^{20} \approx 31.1$

$36^{20}$は$32$桁

(ii) $\log_{10}9^{10} \approx 9.54$

$9^{10} = 10^{9} \times 10^{0.54}$

$3 < 10^{0.54} < 4$

$n = 3$

$9^{10}$の最高位の数字は$3$