$n$を自然数とするとき、次の和を求めよ。 $2 + (2+4) + (2+4+6) + \dots + (2+4+6+\dots+2n)$

1. 問題の内容

$n$を自然数とするとき、次の和を求めよ。

$2 + (2+4) + (2+4+6) + \dots + (2+4+6+\dots+2n)$

2. 解き方の手順

まず、$k$番目の項を求める。$k$番目の項は、$2$から$2k$までの偶数の和である。

$k$番目の項は、

$\sum_{i=1}^{k} 2i = 2 \sum_{i=1}^{k} i = 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} = k(k+1)$

と表せる。

次に、求める和を$S$とすると、

$S = \sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

となる。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

であるから、

$S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1+3)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{2n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$