与えられた式 $\frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数（ここでは $\sqrt{5} - \sqrt{3}$）を分母と分子の両方に掛けます。

$\frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

$= \frac{3(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}$

分母は和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を用いて計算できます。

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$

したがって、

$\frac{3(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$