放物線 $y = 2x^2 + 3x$ と直線 $y = x + 5$ の共有点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 + 3x$ と直線 $y = x + 5$ の共有点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

共有点の座標は、2つの式を連立させて解くことで求めることができます。

まず、$y$ を消去します。

$2x^2 + 3x = x + 5$

次に、式を整理して $x$ についての二次方程式にします。

$2x^2 + 3x - x - 5 = 0$

$2x^2 + 2x - 5 = 0$

この二次方程式を解くために、解の公式を利用します。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 2$, $b = 2$, $c = -5$ なので、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(2)(-5)}}{2(2)}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 40}}{4}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{44}}{4}$

$x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{11}}{4}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{11}}{2}$

$x$ の値が2つ得られたので、それぞれに対応する $y$ の値を求めます。

$y = x + 5$ を用います。

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{11}}{2}$ のとき、

$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{11}}{2} + 5 = \frac{-1 + \sqrt{11} + 10}{2} = \frac{9 + \sqrt{11}}{2}$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{11}}{2}$ のとき、

$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{11}}{2} + 5 = \frac{-1 - \sqrt{11} + 10}{2} = \frac{9 - \sqrt{11}}{2}$

したがって、共有点の座標は $\left(\frac{-1 + \sqrt{11}}{2}, \frac{9 + \sqrt{11}}{2}\right)$ と $\left(\frac{-1 - \sqrt{11}}{2}, \frac{9 - \sqrt{11}}{2}\right)$ です。

3. 最終的な答え

$\left(\frac{-1 + \sqrt{11}}{2}, \frac{9 + \sqrt{11}}{2}\right)$, $\left(\frac{-1 - \sqrt{11}}{2}, \frac{9 - \sqrt{11}}{2}\right)$