条件 $x^2 + 2y^2 = 1$ のもとで、$2x + 3y^2$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

条件 $x^2 + 2y^2 = 1$ のもとで、$2x + 3y^2$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 2y^2 = 1$ より、$2y^2 = 1 - x^2$ であるから、$y^2 = \frac{1 - x^2}{2}$。

これを $2x + 3y^2$ に代入して、$x$ だけの関数にする。

$2x + 3y^2 = 2x + 3(\frac{1 - x^2}{2}) = 2x + \frac{3}{2} - \frac{3}{2}x^2 = -\frac{3}{2}x^2 + 2x + \frac{3}{2}$

$f(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 2x + \frac{3}{2}$ とする。

条件 $x^2 + 2y^2 = 1$ より、$x^2 \le 1$ であるから $-1 \le x \le 1$。

$f(x)$ を平方完成すると、

$f(x) = -\frac{3}{2}(x^2 - \frac{4}{3}x) + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}(x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} - \frac{4}{9}) + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{4 + 9}{6} = -\frac{3}{2}(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{13}{6}$

$f(x)$ は $x = \frac{2}{3}$ のとき最大値 $\frac{13}{6}$ をとる。

$x = \frac{2}{3}$ のとき、$2y^2 = 1 - x^2 = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$y^2 = \frac{5}{18}$

$y = \pm \sqrt{\frac{5}{18}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{6}$

$x = -1$ のとき、$f(-1) = -\frac{3}{2}(-1)^2 + 2(-1) + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} - 2 + \frac{3}{2} = -2$

$x = 1$ のとき、$f(1) = -\frac{3}{2}(1)^2 + 2(1) + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} + 2 + \frac{3}{2} = 2$

$x = -1$ のとき、$2y^2 = 1 - (-1)^2 = 0$ より $y = 0$

$x = 1$ のとき、$2y^2 = 1 - (1)^2 = 0$ より $y = 0$

したがって、最大値は $x = \frac{2}{3}$ のとき $\frac{13}{6}$ であり、$y = \pm \frac{\sqrt{10}}{6}$。

最小値は $x = -1$ のとき $-2$ であり、$y = 0$。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{13}{6}$ ($x = \frac{2}{3}$, $y = \pm \frac{\sqrt{10}}{6}$ のとき)

最小値: $-2$ ($x = -1$, $y = 0$ のとき)